軌跡を求める問題

数学の醍醐味は、次の2点にあります；
①現象を支配する数学を見出す．これは物理学に近い
②数学の論理を展開する．
軌跡を求める問題の着眼点も，この2点にあります．特に，物理や機械に近い着眼点①は興味深いもので，私は軌跡を求める問題は特に好きです．
代表例として，単純な 問題１を作りました．挑戦してください．

■問題１
円A，Bの半径をそれぞれ１とし，２つの円の間は１/2だけ離れているとします（つまり，ABの距離は3/2です）．円Aの円周上の点P，円Bの円周上の点をQとし，P，Qは，長さ１のジョイントPQで結合されています．つまり，この構造は，$${AP＝PQ=QB=１}$$の３セグメントからなります．点A，Bは固定点ですが，A,P,Q,Bのジョイントはピボットです．PQの中点Rの軌跡を調べなさい．

問題１の構造と思考実験
．

ヒント
この問題を方程式やベクトルで解き，軌跡を式で表すのは，なかなか困難ですが，見ただけで直感でわかる軌跡の性質がいくつかあります：
この解の軌跡は，上下対称、左右対称であるはずです．
A円上の点Pは限られた範囲（円弧）上しか移動できません．B円上の点Qに関しても同様です．ただし，ABの距離とセグメントPQの長さによりだいぶ様相が変わります．

■実験してみましょう．
図２に実験結果を掲載します．軌跡の曲線はリボンのような形です．

図２２円が重ならない場合の実験結果

■円A,Bが一部重なる場合の例

図３２つの円が部分的に重なる場合の軌跡の例

これらのリボンのような軌跡は，単純な式では表現できません．
どなたか挑戦してみては如何でしょうか．

■円A,Bの中心間距離をパラメータにして実験を行うと，次のような曲線群の軌跡が得られます．

■　拡大縮小に使われる仕組みーパンタグラフ

点Oは固定点．Oを含む４つのピボットがあり，辺は平行４辺形を保ったまま自由に変形できる．このとき常に，O，P，Qは一直線上にある．
Pの描く図形とQの描く図形は相似であり，相似比は，OP：OQである．