ロッド(棒状の形)の対称類を導く

ロッドとは，ロッド(丸棒)の軸に特定の規則で「張りつけた」同じ図形の無限集合とみなせます．
ロッドに沿って分布する図形は，異なる対称要素を持つ場合がありますが，ロッド方向に対し傾斜した軸や対称面を持つことはできません．もしそうならば，これらが複数のロッド軸を生成することになり，ロッドは1つの特異軸しか持てないという仮定に反するからです．したがって，ロッドのすべての対称類を導出するには，特異点を持つ図形に適用可能な7種類の対称性のみが使用できます（下図で1~7番目の列）．

傾斜軸のある8番目の列のタイプ（正多面体）は，候補から除外できます．ロッドの軸に沿って図形を分布させる規則は，無限図形の対称要素（並進軸，らせん軸，映進面）に基づいています;
それらに加えて，生じた対称要素（対称心，図形の中間の点を通り，ロッド軸に垂直な対称面や2回軸，縦の対称面，ロッド軸と一致する回映軸）などが発見されるでしょう．

■1つの対称軸を持つ図形によって生成されたロッド

対称性nの等しい図形が多数あると仮定します．上の例では，適切に色付けされた正３角形が多数あります．これらの正３角形は，4つの対称面（縦方向に3つ，横方向に1つ）と，3つの2回対称軸がありますが，これらのすべてが消えるように［非対称化する］色付け（斜線影が付いている）します．図の前面は背面とは異なります．すべての図を平行に配置すると，3回対称軸3に加えて，並進軸aのあるロッドが得られます．この軸に沿った平行移動aは，図a（の右）に示すように，ロッド軸に「張られた」図形間の距離に等しくなります．
このようにして得られた対称類は，(a)･3あるいは，一般化して(a)･nで表すことができます．

連続する各3角形を角度α=60°づつ回転して，積み重ねるか紐で繋ぐと，位数６のらせん軸6_{3}が得られ，これは普通の3回軸3と同じものです．対称記号は，(a)･6_{3}あるいは，一般化して，(a)･2n_{n}になります（図b）．

この対称類には，2t並進すると単位並進になる並進軸aがあります．ここでtは隣接する3角形間の距離です．時計回りまたは反時計回りの回転60°の場合は，どちら回りでもで同じ結果が得られることがわかります．

回転角αが任意（不整合）である場合は，状況が大きく異なります；
図cのように，時計回りに回転すると右手型，反時計回りに回転すると左手型の図になります．
右ネジらせん軸と左ネジらせん軸を区別するために，右向きの回転角度を正に，左向きの回転角度を負にします．

整合的な（有理数）回転角α= 360°/ nの場合，対応する対称類の記号には，当然，有限並進の軸も含まれます．

6回らせん軸の例を挙げて説明すると，6_{1}，6_{2}が右回りの回転，6_{4}，6_{5}が左回りの回転をするらせん軸です．