片面のみの平面

片面のみの平面one-sided-planeと両面ある平面two-sided-planeとはどのようなものでしょうか．ただし，平面は離散平面でも連続平面でも良いことにします．

　　　　　　　　　   　a　　　　b　 　　c　

図aと図bのどちらも，表面と裏面とでは性質が異なります．図aは，表面に＋電荷が帯電し，裏面にはー電荷が帯電した電気二重層の例です．表面に沿って並進を繰り返す（あるいは，連続移動）しても，途中で表面の性質が裏面の性質に変わることはありません．従って，表裏の2面（両面）が存在し，その境界となる「面を一周する」縁があります．
1面（片面）しかない平面は，メビウスの帯やクラインの壺から連想できるでしょう．表面だと思って表面をたどって移動していくと（並進すると），いつの間にか自然に裏面になってしまう，さらに，そのまま進むと初めに居た表面にもどります．面は表裏2面あるようですが，実は１つの同じ面なのです．従って境界は存在せず縁もありません．図ｃがその例です．
aは極性平面，　bは軸性平面，　ｃは捩性平面，と呼ばれます．

■片面帯（one-sided band）の対称性
特異点のない図形の対称性について

特異点（線，面）の概念は，有限図形の特別な変換のクラスに関して導入されます．図形は，この特別な変換クラス以外の変換では，不動点を持たないとします．特異点のない無限図形を得る最もシンプルな変換は，直線に沿った並進（有限距離の平行移動）です．この並進を無限回繰り返すと，直線のどの点も無限回繰り返されて，同価点が無限個並びます．そして，その直線（並進軸）は特異線になります．特異直線に加えて，並進により自分自身に重なる特異な片面（極性）面を持つならば，その図形は片面帯（one-sided band）と呼ばれます．「帯」や「ロゼット」などは，普通に使われる用語で概念の定義があいまいですが，ここでは完全に専門科学術語として用いていきます．

帯に必要な対称要素は並進軸
地下鉄通路や交差点の縁飾り

［要約］上に示したのはone-sided帯の例です．この例の横方向に並進がある縁飾りはone-sided面としたので裏面が存在しません．表面と裏面があり両者の間に対称操作が定義できるのはtwo-sided面です．

横１行の図形全体が，直線ABに沿ってaだけ動かすと（図形内の互いの位置関係を変えることなく），図形の１つがその隣の図形に一致するように，図形の全体は始めと違う新しい位置に動きます．直線ABを並進軸と呼びます．距離aの変位をしても，無限の図形なら如何なる変化も起きないので，望むだけ何度でも変位を繰り返せます．図形の変位はABの方向でも，逆の方向BAの方向でも同様の結果になります．すべての平行移動の集合は，この無限図形に対する並進群という新しい対称クラスを作ります．図形の行を並進した結果，初期位置と一致するような，最短の並進距離aを単位並進，あるいは，周期といいます．1次元の並進軸はaと表記します．これは無限の図形で存在できる対称要素であります．特異点がある有限や無限の図形は，並進軸を持つことができません．なぜならば，並進軸があるならば，図形の特異点は無限に繰り返され特異点ではなくなるからです．

対称要素aだけの帯（モチーフ部分図形は非対称）の例を示しました．帯を投影している紙面は，考察中の線形飾りの対称面ではない（one-sided）と仮定します．わかりやすくするため，一番上の図の帯の例で，片面が黒もう片面が白の３角形のカードボードをイメージしましよう．すべての３角形が黒側を観測者に向けています．紙面が対称面でないなら，図形は片面帯で裏面はありません．この帯のタイプは，並進軸に極性があります．つまり，（左右が対称ではない）AB方向とBA方向とでは性質が異なります．この図の帯を左から右へ追ってみると，常に，黒い3角形の先端から出現し，逆向きに追うと最も短い辺から現れます．並進軸の方向に極性があると，知らず知らずのうちに前進する印象を与えます．