ダイヤモンドのブリリアン・カットの数学

■ダイヤモンドの価値は，4C［Carat重量，Color色，Cralityキズ，Cutカット］で評価されます．ここでは，数学的に興味のあるカットのプロポーションについて述べました．ラウンド・ブリリアン・カットのダイヤモンドが最も輝くようにしたプロポーションを理想カットといいます．理想カットは1919年にベルギーのMarcel Tolkowsky(数学者でダイヤモンドのカッター)が計算しました．今なら，コンピュータもあるし，光線追跡のソフトウエアもある時代で，理想カットの形（プロポーション）を見つけることは容易でしょうが．1919年にどのように計算したのか，興味深いことです．多分，閉じ込められた光線が全反射を繰り返す光路に注目したのでしょう．

ダイヤモンドのブリリアン・カットの各部の名称を図に記載してあります．正面の平らな面をテーブル面，上半分をクラウン，下半分をパビリオンと呼びます．真ん中のガードル面に対してクラウン斜面のなす角度をβ，パビリオン斜面のなす角度をαとしました．

テーブル面の左隅Aに入った光線（赤色）が,ダイヤモンド内部を進み，後方の左パビリオン斜面で全反射され，次に，右パビリオン斜面で全反射され，テーブル面右隅Bに戻り，前方に出て行く光線もありますが，テーブル面右隅Bで一部は反射され内部に戻る光線（青色）になります．この光線は全反射を繰り返し内部に閉じ込められることになります（青色）．
この図で追跡した光線は，テーブル面の左隅Aから出て，テーブル面の右隅Bに達する左右対称の光路です．ダイヤモンドの屈折率n≒2.417を用いて，この光路のテーブル面での入射角φ，屈折角γに対する屈折の式，sinφ＝n･sinγ　から，左右対称になる入射角φ（テーブル面の垂線と入射光線のなす角）を求めると，21°になります．というのは，左右のパビリオン間でテーブル面と平行になる光路ですから，左のパビリオン斜面での反射の法則（反射角αはパビリオン角αに等しい）から，γ＝90°ー2α＝8.5°となることが決まるからです．ここで，パビリオン角α＝40.75°を用いました．

■屈折率の高い媒質中に光が閉じ込められるのは，全反射を起こし易いからで，ダイヤモンドの全反射の臨界角θ（入射角でいうと）は，sinθ=1/nだから，θ＝24.4°（反射面から測った反射角で言うと，65.6°）です．
テーブル面の出口で反射されて内部に戻った一部の光線は，パビリオン面とクラウン面で全反射を繰り返し内部に閉じ込められます．パビリオン角α＝40.75°，クラウン角β＝34.50°というのは実によくできた設計です．
全反射によりブリリアン・カット内に閉じ込められた光線の経路は，一周すると，これに平行な経路に戻ることを証明するために，次の作図をしてみました．BC(赤色)の直線はダイヤモンド内部で全反射を繰り返す光線（青色）を外に引き伸ばしたものです．その代わりに，ダイヤモンドも反射面を共通にしてつないで並べました．結局，全反射を4回繰り返すと光線が平行になるということは，このように配置したダイヤモンドが４つで回転角が0に戻る（初めの向きと同じ）ことからわかります．

■カットの形を評価するには，そのカットの形を磨き直して理想カットにするとしたら，重量がどれだけ減るか（カット減点%）で表します．カット減点5%までは理想カットと見做されます．さて最後になりましたが，トルコフスキーの理想カットのプロポーションを表紙の図に示しました．トルコフスキーはガードル厚には言及せず，ナイフ・エッヂだったそうですが，現実にはナイフ・エッヂは作れず，ガードル厚は必要です．
■（注）ラウンド・ブリリアン・カットとは，58のファセット面を磨き上げた形（キューレットも1面と数えます）です．ダイヤモンドは立方晶系の結晶ですから，複屈折はありません．また，光の分散もそれほど強くなく上品です．虹色にぎらぎらするようならキュービック・ジルコニアなどの疑いがあります．
クラウン面の高さや，パビリオンの深さが最適でないと，テーブル面の中が暗くなります．