正n角形(対称性n:mやn･m)を積み上げてできるロッドの対称性

■正4角形（対称性4:m）を例にします．この正4角形は以下の図のaのようなものです．ボール紙の正方形の中に傾いた正方形を描いています．何のために傾いた正方形を描いたかというと，このボール紙の正方形にある紙面に垂直な４つの鏡映面（ボール紙の正方形の対角方向や辺の中点を結ぶ方向）を消すためです．結局，このボール紙の正方形には，4回回転軸，鏡映面（紙面），そして，４つの2回軸（紙面内にあって，ボール紙の正方形の対角方向に2本，対向する辺の中点を結ぶ方向に2本）が生じています．図aの左が表側，右側が裏側です．このボール紙の正方形の対称性の記述は，点群の生成元を用いて，4:mのように記述します．(注）4回軸が紙面に垂直にあり，紙面が対称面mであるという意味です．

このボール紙の正方形をたくさん作り，ｂのように積み上げたり，ｃのように積み上げたりしてロッドを作ります．

図bの対称性は，(a)･4:m
(a)とは，積み上げ方向にロッドの軸（a軸）ができ，ボール紙の間隔が単位並進になること．
･4とは，a軸にそろって４回軸があること．　
:mとは，4回軸に垂直に鏡映面があることを表します．この鏡映面がどこにあるかというと，ボール紙の中心を通る紙面ももともと鏡映面でしたが，ロッドにすると，隣り合うボール紙の中間にも生じます．
そのほかに，対称心がもともとの図形にもありますが，隣あるボール紙の中間にも生じています．

図cの対称性は,　(a)･~a･4:m
この図の作り方は，ボール紙を一つ置きに裏返してできています．
ここに出てきた新しい記号だけ説明します．~aは映進面の記号で，本当はaの上に~を載せて書きます．
1次元の並進軸a軸があり，この軸を含むように映進面~aが4枚あります．そして･4ですからやはり映進面内にa軸にそろって4回軸があり，続く，:mは4回軸に垂直に鏡映面があることを示しています．
cでは，並進単位はボール紙の間隔の2倍であることもわかるでしょう．

■正3角形（対称性3･m）を積み上げたロッドはどのようになるでしょうか．
3･mの意味は，3回軸があり，その3回軸を面内に含むような対称面ｍがある（3枚ある）ということです．この場合正3角形のボール紙面は対称面でないので，下の図aに示したように，ボール紙の裏表は異なり対称操作で移動できません．この正3角形を積み上げてできるロッドは，bとcの対称性があります．

b.　(a)･3･m　　　　　　　　c.　(a)･6_{3}･m　　（6_{3}は，らせん軸）