コーシーの積分定理

■コーシーの積分定理

■ローラン展開と留数

関数G(s)に，極（分母が0となる特異点）がある場合，例えば，１つの極s1の周りで，次のようにローラン展開ができます．s1がn次の極とすると，

実は，G(s)を複素関数と見たとき，極s=s1で，G(s)は正則ではありません．s=s1を内部に含むような閉曲線Cに沿って左回りに1周G(s)を積分すると

となります．これを留数の定理といいます．

さてこの証明は，難しくはありません．興味おありでしたら，親切な解説をしているyoutube動画（以下）がありますので，そちらをご覧ください．
関数をローラン展開すると，いろいろな次数の項がでて来ますが，閉曲線に沿って1周積分すると，なぜ，-1次の項の係数（留数）だけが残るのか不思議ですね．証明をyoutube動画で確認ください．たいへん都合の良い便利な性質です．

いろいろな場面で，いろいろな積分をするのに，留数定理を使います．「道具としての数学」の面目躍如です．複素関数論はいろいろな分野でとても活躍しています．

■話は変わりますが，ローラン展開の留数を見つける手法と一寸似た手法で，ラプラス逆変換をするときに，部分分数に展開できます．以下の例題をご覧下さい．

答えは，C1=1/2，C2=-1/4，C3=1/4　です．うまく見つけられましたか．