感染症の数理モデル
今年の数学月間（7月29日）は，稲葉寿氏（東大）の表題の講演をZOOMでお送りしました．covid19の感染拡大第３波に見舞われている今日，お読みいただくと役に立つと思います．gotoトラベルは，それぞれR<1を保っている複数の状態（都市）の相互作用により，R>1に変わる可能性を誘発する危険な政策です．
■これまでに人類はいろいろなパンデミックを経験してきました．1918年のインフルエンザ（スペイン風邪）は4000万人以上の死者，2015年のＨＩＶ感染者は3670万人，マラリアは年間3億～5億人の患者を生む．最近のSARS，エボラなどの新興感染症や，再興感染症などにより感染症撲滅という1980年代までの楽観論は消滅しました．人口増加，都市集中，環境破壊などによって，感染症流行リスクはますます増大しています. 現在COVID-19は予断をゆるさない状況です．
■感染症の数理モデルは，SIRモデルを基本とします．これは，ケルマックとマッケンドリックが提唱(1927)したものです．全人口をS（感染感受性のある集団），I（感染者集団）, R（免疫のできた回復者）の３つのグループに分け，それらのグループ間の相互作用（遷移）を数式で記述し数理モデルができます．
数理モデルは，感染拡大の様子を予測でき，種々の介入（ワクチン接種，隔離，接触制限，ロックダウンなど）を行うことで，感染性人口を絶滅させる（感染源にならないようにする）対策の策定に必要です．
COVID-19では，もう少し進化させた，SEIR数理モデルが必要です．これは，E（潜伏期間にある感染者集団）が加わったモデルです．特にCOVID-19は，Eグループのものが感染源になることや，免疫のできた回復者の免疫が消えることなどがわかり始めており，一筋縄では行かないモデリングになります．
■基本再生産数R0（R-naught)
感染感受性のある集団に居る一人の感染者が，その全感染期間に再生産する（感染させる）2次感染者の数を基本再生産数R0と定義します．全員感受性のある集団で，1次感染者数，2次感染者数，3次感染者数，･･･と等比級数で増加するときの公比がR0です．
R0は患者数と感染感受性のある人（未感染者）との接触回数に比例するので，環境状況でこの数値は変化します．感染が広がると未感染者が減り，実際の集団には免疫のある人も混ざった状態になるので，全員感受性がある集団で定義したR0よりも小さいR（実効再生産数）が期待できますが，適切でない介入があれば，逆にRの増加もあり得ます．
結局，R>1であればその集団の感染者人口の成長率は正になり，流行は拡大していくが，R<1であればその集団の感染者人口の成長率は負であって流行は自然に消滅する．何らかの介入をして，すみやかに，R<1とすることが対策になります．
■多状態のSEIRモデル
集団に2つの状態（例えば，学童と社会；病院と社会；東京と地方；大学と社会；等々）がある場合は，それぞれにSEIRモデルを作り，さらに２つの状態間の相互作用を考える複雑なモデル（コンパートメント・モデルという）になります．２つの状態にはそれぞれの実効再生産数Rがあります．
現実に近い多状態SEIRモデルを作り，その次世代行列の最大固有値として，Rを計算します．そして，どのような介入（例えば，ワクチン接種，ロックダウン，外出制限，休校）をすれば，Rが下げられるかを検討します．
集団の２つの状態のRが1未満であるため，感染が制御されているように見え，通常の生活に戻り始めるかもしれません．
イギリスでも約200万人の大学生が全国から復帰し，フレッシャーズフルー［注）フレッシャーズフルーとは，大学で最初の数週間に新入生が発症した一連の病気に付けられたイギリス英語］のようなCOVID-19感染拡大が懸念されるそうです．若者が無症候で感染を広げる最悪モデルでは，学年末までに96％感染と予測されました．学生集団は軽症ですが，体力の弱いスタッフや周囲のコミュニティと相互作用をするコンパートメントモデルでシミュレーションし，いろいろな介入施策の検討がなされています．
［注）Isaac Newton Instituteによって実施された「感染症のパンデミックのダイナミクスを理解する上での数学的および統計的課題」（IDP） https://www.newton.ac.uk/event/idp］
日本でも，東京と他都市のRが，それぞれ１をわずかに下回っている状況ですが安心はできません．東京と他都市の相互作用により全体が増加し１を超えるRになる可能性はあります．
■免疫は持続するか
もし，回復したものの再感染を許容するモデルにするならば，新規感染率に対する，回復者再感染率の比をσとし，σR0＜１なら収束に向かいます．
従来の感染症の常識では，免疫を得ると再感染はしないということを前提にしていますが，COVID-19に関しては，再感染をしないような免疫が獲得できないかもしれません．免疫抗体が数か月で減衰するという報告が中国やスペインからなされている状況です．もし，免疫が獲得できないのであればワクチン自体が成立しないことにもなります．
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次回の数学月間企画講演（第3回）のお知らせ
「3Dジグソーパズルのデザインと数学」
手嶋吉法（千葉工業大学）
12月26日（土），15:00～17:00，参加無料です．
ZOOMにてリモートで実施します．多くの皆様の参加をお待ちします．
ホームページhttp://sgk2005.saloon.jp/ で申し込みができ，
参加登録されると，実施日の1週間前までにZOOMのURLをお知らせします．
主催：NPO法人数学月間の会