ソフィスト，ゴルジウスの第二定理

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс, «Квант» №5, 2010
Gorgiasの2番目の定理は次のようです-
何かが存在する場合、それは人にはわかりません。
ここで、このカテゴリに分類される文の例をいくつか示します。

集合理論に難点がありました。「選択の公理は本当ですか？」のような質問をする権利はあるのでしょうか？矛盾することなく数学をやりたいだけなら、原則として、選択公理を受け入れることも、それが真実ではないことを受け入れることもできます。どちらの場合でも、私たちは数学を開発することができ、ある場合にはこれこれの結果を、別の場合には他の結果を得ることができ、矛盾は決してありません。

しかし、今は状況が異なります。明らかに、結果があり、その答えは明らかに存在し、明確に決定されますが、人類はおそらくそれを知ることは決してないでしょう。最も単純な例は、いわゆる（3 N + 1）問題です。これについては、これから説明します。自然数を１つ選びましょう。それが偶数ならば、半分にします。それが奇数の場合は、3を掛けて1を足します。結果の数値についても同じことを行います。たとえば、3から始めると、次のようになります。

7から始めると、プロセスに少し時間がかかります（表紙の図）。いくつかの小さな数から始めて、このチェーンはかなり長いことが判明するかもしれませんが、常に1で終わります。どの自然数から始めても、そのようなチェーンを構築すると、常に1になるという仮説があります。これが（3 N + 1）-問題です-この仮説は本当ですか？

すべての現代の数学者はそれが正しいと信じているように私には思えます。そして、無謀にもそれを証明しようとさえします。しかし、誰も成功しませんでした。そして何十年も経過しています。したがって、これは魅力的な課題の1つですが、もちろん、真面目な数学者はそれを軽蔑します-まるで楽しいパズルのようです。そこに何があるのか​​を知る必要が誰にあるのか​はわかりません。しかし、軽薄な数学者は、仮説が真実であるかどうかにまだ興味を持っています。それが証明されないうちは、ここで何でも起こり得る。まず、この質問には明確なyesまたはnoの答えがあることは明らかです。自然数から始めて、1に到達するというのは本当か、本当でないかのどちらかです。ここでの答えは、公理の選択や人間の意志に依存しないことは直感的に明らかです。人類はこの質問に対する答えを決して知らないという仮定があります。

ベルンハルト・リーマン
もちろん、誰かがこの仮説を証明すれば、私たちは答えを知るでしょう。証明するとはどういう意味ですか？これは、自然数が1に収束する理由を彼が説明することを意味し、理由を私たちに明らかにすることです。

誰かが73桁の数字がまさにそのような特性を持っていることを証明するかもしれません。それからこのチェーンを実行することによって、私たちは間違いなく任意の大きな数字を得るでしょう。または、このチェーンが別の場所でループすることを証明します。繰り返しますが、これが仮説が間違っている理由になります。

しかし、私はひどい悪夢を見ます。命題が真実であるが、理由がない場合はどうなるでしょうか。確かに、この命題には、別の人に理解させ説明できる理由はありません。それならば、私たちは答えを知ることは決してありません。残っているのは、すべての自然数を繰り返し、それぞれの仮説をテストすることだけです。そして、これは当然、私たちの力を超えています。エネルギー保存の法則は、有限の時間内に無限の数の操作を実行することを許可していません。光の速度の有限性からもそうです。物理法則では、有限の時間内に無限の数の操作を実行して結果を見つけることは許可されていません。

多くの未解決の問題は、この領域に関連しています。原則として、彼らは本当にそれらを解決したいと考えています。それらのうちいくつかは決定できる可能性は高いです。リーマン仮説という名前を聞いたことがあると思います。たぶんあなた方の何人かはこの仮説が何を言っているかを漠然と理解しているでしょう。しかし、リーマンの仮説では、少なくともそれが真実であることは明らかです。すべての数学者はそれを信じています、そして私は彼らが近い将来それを証明することを願っています。そして、まだ誰も証明も反証もできない命題がいくつかあります。仮説においてさえ、2つの答えのどちらが正しいかは定かではありません。人類は、原則として、これらの質問に対する回答を決して受け取ることがない可能性があります。