通潤橋アーチの数学

さて，石積の橋の形，アーチ曲線に関して考えましょう．
アーチの両側の根元はしっかり固定しなければなりませんが，
アーチの上の石の重さが重ければ重いほどアーチの石は互い押し合い引き締め合うので，橋は大きな荷重に耐えられるのです．石積みは引張力に抗する力はないが，石積の石に働く力はすべて圧縮力だけなので接着の必要はなく安定構造になります．
石は圧縮に強い材料ですからアーチ型の橋には最適です．ただし，アーチ根元の支点部には，大きな水平力が発生するので，それとつり合う大きな水平反力が必要です．山で挟まれた峡谷などはこの点では最適な立地条件でしょう．通潤橋の根元をしっかり押さえつけている重そうな石積の写真を見てください．

■空き缶を積んで作ったアーチで実験

私が真剣に積んだのですが，できるのはどうしても缶5個のアーチまででした．5個の缶で缶同志の接点は4点．すべての接点で同時につり合っていなければなりませんから，作るのがとても難しい．もし，6個以上でアーチが出来た方は新記録です．ご一報ください．
缶の周りにラップを巻いていますが，摩擦力を増すためでアーチのつり合い条件を変えるものではありません．

ここから先は，釣合の5つの一次方程式を連立して解く線形代数の話になります．興味ある方はお読みください．
http://sgk2005.saloon.jp

空き缶を積んで作ったアーチです．左右対称ですから，左半分だけ解析しましょう．缶の中心を①，②，③と名づけます．すると，缶同士の接点は，線分①－②の中点と，線分②－③の中点にあります．線分①-②，線分②-③には，それぞれ圧縮応力f_{1}, f_{2}があります．すべての缶は点で接触しており，モーメントは考える必要がありません（トラス構造）．線分①-②，および線分②-③の水平となす角度をそれぞれα，βとしてつり合いの式を立てます．各缶には下向きに力gがかかっています．つり合いの式は，①点，②点，③点でx, y成分ごとに書きます．

f_{1}, f_{2}, r_{x}, r_{y}, gが，ゼロででない解であるための必要十分条件は，行列式がゼロとなることでした．この行列式を計算すると，
tanβ=3tanα　の関係が得られます．
この釣り合いの結果は，①から測った曲線に沿った距離sと，その点の接線の傾きtanθが比例する　tanβ/3＝tanα/1=tanθ/sの関係（懸垂曲線で導ける）と一致します(下図参照)．