色々な階層空間での結晶空間群のまとめ

昨日の続きです．もう一度整理します．
空間の次元を横軸に；並進の次元を縦軸に
リストを整理しました．表紙の図表をご覧ください．

■3次元結晶空間群　G^3_3
空間の次元は3次元，並進の次元は3次元です．
230種類の結晶空間群が数え上げられています．

■2次元結晶群．層
2次元の周期のある構造を「層」と呼びます．
「層」には，片面のみの「層」と両面をもつ「層」があります．真の2次元空間の「層」には表・裏はありません．2次元空間に存在できるのは片面のみの「層」です．私たちが壁紙模様の対称性（平面群）と言っている17種類は，この片面のみの「層」です．
両面ある「層」は，3次元結晶空間で存在できます．この対称性は，全部で80種類あります．この80種類の中に，片面のみの「層」の17種が含まれます．
「層」の対称性は，雲母などの層状の物質や，層状半導体などの構造や，平面に投影した電子密度分布などに利用できます．また，紙（ただし，連続体です）の歪応力や力学定数を定義する時にも役立ちます．

■1次元結晶群．帯とロッド
1次元の並進しかない「層」の構造は「帯」と呼びます．帯には，片面のみの「帯」と両面ある「帯」とがあります．31種類の両面「帯」があるのは3次元の空間です．片面のみの「帯」7種類は2次元空間でも存在できますが，3次元空間での31種類の中に，この7種類は含まれます．

もう一つの1次元の並進がある3次元の構造に「ロッド」があります．結晶学的ロッドの対称群は全部で53種類です．［結晶学的というのは，回転やらせん軸が，2，3，4，6回に限られるという意味です］
どちらも3次元空間にある31種類の両面「帯」の対称性から「ロッド」の対称性と重複するものを除いて，1次元の並進周期のある「帯」や「ロッド」の対称性は，全部で75種類です．
「ロッド」の対称性も決して数学的遊びではありません．前回の表紙図に示したように，現実の物質が存在し，立派な応用があります．

■結晶点群
並進のない図形［有限図形］の対称性は，変換で不動となる特異点が1点あるとして，この特異点の周りの対称操作が生成する群を数え上げます．3次元空間では，全部で32種類の点群があります．2次元空間では，点群は10種類で，これは3次元の32種類に含まれます．

■色々な結晶空間群間の関係
空間群，平面群，などは，その中に部分群として含まれる「並進群」を核として（並進で移動した点は同じと見なす），点群に準同型に写像できます．

このように，色々な階層の空間で対称群が定義できます．それらの間の群どうしの関係を，この先で解明していこうと思います．