正方形の１辺の1/nを折る

sgk

2020年8月4日 20:10

Rachel Thomas, https://plus.maths.org/content/folding-numbers?nl=0

正方形の紙を1/2に折るのは簡単です．しかし，1/3に折るのはどうですか．
少し試行錯誤すればできるかもしれませんが，試行錯誤せずに1/3に折れますか？1/5は？1/７は？

■1/3に折る
はじめに，正方形の紙の上部の半分に小さな折り目マークを付けます．
次に，左下の角を，この中間のマークに合わせて用紙に折り目を付けます．

最初に気づくのは，作成した3つの三角形の興味深い関係です．1つは左上に，もう1つは右上に，もう1つは右下の用紙外に飛び出した用紙の裏面の小さな三角形です．これら３つの三角形は相似な直角3角形で（三平方の定理が成立）あることです．

ピタゴラスの定理から
x^2+(1/2)^2＝(1-x)^2　を解くと，ｘ＝3/8
相似だから
x/(1/2)＝(1/2)/y　なので，y=1/4x＝2/3

かくして，y/2＝1/3が得られる．

■これを一般化し，上端の辺上の比率をk:1-kとすると，

x^2+k^2=(1-x)^2　より　　X=(1-k^2)/2

y/(1-k)=k/x　より　　y=2(1-k)k/(1-k^2)

すなわち，　y/2＝k/(1+k)　の関係が得られます（これをHAGAの定理というそうです）
この関係式に，kの値（位置）として，得られたy/2の値（位置）を
代入するたびに，次のy/2の値（位置）が求まります．
k=1/2　→　y/2＝1/3
k=1/3　→　y/2＝1/4
k=1/4　→　y/2＝1/5
　　......
このようにして繰り返せば，一辺の長さの1/nまで順番に作れます．
つまり，正方形の上の辺にkの位置をとると，右側の辺にy/2に位置が決まります．このように続けると，1/2，1/3，1/4，･･･の位置が正方形の周りを
ぐるぐる周りながら順次現れるのが大変面白いです．