イスラームの繰り返し模様

イスラムデザインの美しい壁紙をご覧ください．

pinterestからお借りたこのデザインは，Aziza（カタールのドーハを拠点とするアーティスト）によるものです．彼女は神聖幾何学とイスラムのパターンを研究しています．https://artofislamicpattern.com/#/6

この模様はとても魅力的で，イスラム模様の特徴がよく出ています．
色のグラデーションがとても素敵なのですが，ここでは幾何学の話をするので，色の区別ができない眼鏡をかけたと思って色は無視します．

この壁紙の成り立ちを，表紙の図に示しました．この図の平面群（全部で17種類あります）は，p4mmと記号で書かれるものです．このような繰り返しパターンは，モチーフとなる図形を周期的に配置して構成されています．

壁紙模様で，まず目につくのは周期（格子）で，これを平面群の記述の先頭に書きます．この例では，記号でpと書きました．2次元のブラベ格子のタイプはp（plain＝単純）とc（c-centred＝ｃ面心）の2つしかありません．そして，17種類の壁紙の対称性のうちの15種類が単純格子に分類されます．2次元の格子のタイプ分類（2次元のブラベ格子は5種類）は，前回の「ネットワーク・パターンの分類」で始めたところです（参照ください）．

この壁紙模様の例では，すぐ，黒い正方格子が目につきます．しかも，正方形の中心にも格子点のある（c面心格子）複合格子のように見えます．しかし，対角線の方向に目を配ると，一辺の長さが1/√2　になった，赤い正方格子（p格子）が見えてきます．

始めに気づいたc面心格子（黒い格子）は「正方形」の対称性ですし，後で気づいたp格子（赤い格子）も「正方形」の対称性です．c面心格子を作れたように見えましたが，黒い格子を1/√2に縮小し45°回転すると赤い格子と同じものになります．正方格子のはp格子だけで，c面心格子は存在しないことがわかります．

この繰り返し模様のモチーフ（最小の非対称要素）は，表紙の図の右端に示した直角２等辺３角形です．このような3角形の模様付きタイルを作れば，このタイル４つで，p格子の単位胞内を作ることができます．出来上がった単位胞を並べれば，無限に繰り返す壁紙模様が出来上がります．このモチーフは非対称要素と呼ばれるように対称性のない最小タイルです．

最後に，平面群の対称性の記法で，格子タイプpに続く4mmは，格子点の対称性を記述する点群の記号です．
（注）正確に言うと，格子を法として準同型に写像して帰着した点群ですが，これはもう少し平面群の作り方の説明をした後にします．