ミラーの多面体

左の多面体は半正多面体［アルキメデスの立体とも呼ばれ13種類ある］のうちの１つ｛3,4,4,4｝です．［この表記法はシュレーフリの表記法といい，どの１つの頂点のまわりにも，正3角形，正4角形，正4角形，正4角形が集まっていることを表示しています］．
右の多面体はミラーの多面体[左の多面体のキャップの部分だけを左に45°回転して載せるとこのような多面体になります]といいますが，半正多面体に分類されないのが慣例です．シュレーフリの標記法では，両者の立体は全く同じ記号になります．
対称性から見ると，両者は違います．左の立体の点群は，4/mmm（4/m4/m4/mと書くのは冗長だがわかりやすい），位数は16で，右の立体の点群は，4mm，位数は８です．
これらの立体の上下の正方形面の中心を貫く4回回転対称軸とその軸を含む対称面は，どちらの立体にもあるので，点群4mmの対称性はどちらの立体も持っています．これに加えて，左の立体は等価な3本の4回回転対称軸があり，点群は4/mmmになります．従って，4mmは4/mmmの部分群です．

図作成にpov-ray使用．