重力レンズと特異点理論
第7回数学月間企画講演会（2021.10.2） 河野俊丈（明治大）
このテーマは，Kavli IPMUにおける数学と宇宙物理の協働研究に関わる．
ガリレイ変換に従う古典力学では，すべての慣性座標系で一つの絶対時間が支配するので，光速は座標系の移動速度の影響を受ける．一方，ローレンツ変換に従う特殊相対論では，どの座標系でも光速は不変（実験事実）としたので，時間は個々の座標系で異なる固有時間$${t'=t\sqrt{1-(v/c)^{2}}}$$となる．座標系の移動速度$${v}$$が光速$${c}$$に近づくと，その座標系での時間の流れは遅れ，逆に，$${v \ll c}$$ではガリレイ変換の結果$${t'=t}$$に一致することがわかる．
ローレンツ変換に従う真空時空では，計量$${ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$が保存されるが，
質量エネルギー分布があるために生じる空間の歪（曲率）は，アインシュタイン重力場方程式により記述されるが，特に，太陽のような天体が作る球対称の重力場に対しては，シュバルツシルト計量が保存される．この時空の光線は，シュバルツシルト計量を保存し，時間が最小となる経路（フェルマーの原理）を進むので，光線経路の偏角を容易に知ることができる．
大きな重力場を有する天体の傍らを通過する光線は，その重力場が空間を歪ませているため，時間が最小となる経路をとると曲がっている．重力レンズとは，重力場が示すこの効果を言う．大きな重力場のある天体の輪郭にリング状の光（アインシュタインリング）が観測されたり，実際に存在するのは１つのクエーサー（準恒星）であるのに，これが複数個に観測されたり，像が歪むなどの現象が起こる．これらの現象は，身近な光学現象で見られる光線の集まる火面（コスティック；caustic）の形成と同じである．1点の光源から発した球面波の波面は，途中にグラスなどがあると，その表面で反射や屈折を起こし，折り返され方位を変えた複数の球面波の波面になり，波面が重なり光線の集中する火面が形成される．同様な現象が，重力場でも起こり，波面が折り返され重なり，歪んだ光線の集まる火面の像が観測される．
遠方宇宙にあるクエーサーや銀河からの光が，途中で巨大な重力場を通り，観測者Oに達するのだが，像は観測天球面T上にあり，光源は遠方宇宙の天球面S上にある．観測者O，観測天球面Tの点，遠方宇宙の天球面Sの点の3点は，重力場による曲率のある世界の測地線上にある．光線は途中の重力場で曲がるために，実際に光源となったクエーサーや銀河が存在するのは，観測像の延長上ではない．
我々が観測するこのクエーサーの像は，火面が引きちぎられて5つに見えるものだが，これらが同一光源からの像であることの証拠は，それらのスペクトルが同一であることによる．なぜ５つに引きちぎられて見えるのかというのは，特異点理論が関わる．２つの天球面間に，なめらかな写像T→Sを考えよう．火面形成に関与する波面の集合は写像の臨界点集合で，カタストロフィー理論（ルネ・トム他）によると，写像の特異点の型は①折り目(fold)，②カスプ（尖った点；cusp）の型があり，臨界点集合の折り目の外側では写像によってSの1点に写されるTの点の個数は1個であるが，臨界点集合をよぎるたびに２ずつ増加するので，一般には上のようなTの点の個数は奇数となる．この写真のクエーサー像と銀河像は，それぞれ，5個および3個の像に観測されている．
特異点理論は，宇宙観測データの膨大な解析と協働して，宇宙の重力場やダークマター，ブラックホールの分布を知ることにもつながる．