平行多辺形の分割で平面群を導く★
230の結晶空間群を数え上げた一人にフェドロフがいます．フェドロフはどのようにして空間群の数え上げを行ったのでしょうか．
注）ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
230種の3次元の結晶空間群の数え上げの研究は，フェドロフ（露，ぺテルスブルグ大，鉱物学教授），シェンフリーズ（独，フランクフルト大，数学教授），バーロウ（英，ロンドンの実業家）により，1890-1895の間に，それぞれ互いに独立に完成しました．フェドロフの結果が完璧であったことは，3者の認めるところであり，3次元結晶空間群はフェドロフ群とも呼ばれています．
3次元の結晶空間を対象とする前に，2次元の結晶空間を対象にして，結晶空間（＝離散的な周期空間，デジタル化された空間）の構造を記述する群論を十分に理解するのが良いと思います．それは，3次元やそれ以上の高次元にも対応できる応用力となります．
2次元の結晶空間で，同一の平行多辺形タイルで平面をタイル張り（重なりもなく隙間もない）することが，この課題のスタートとなります．
１つのタイルの平行移動だけで平面が張れるのは「平行多辺形タイル」です．このようなタイルの形は，平行4辺形と平行6辺形に限られ，下図の8種類です：
次に，１つのタイルを同価な部分に分割します．この分割は，タイルの対称性を使って，そのタイルの非対称要素と言われる同価部分に分割します．
1つのタイルを分割できる同価部分の数は，タイルの点群の位数に等しい数です．こうして分割された部分の形には対称性がなく，非対称要素と呼ばれます．平面のタイル張りができる８種類の平行多辺形の分割をそれぞれ進めると，下図の48通りの分割を得ます：
並進だけで平面を張り詰めることのできる（平行多辺形）タイルの着色した部分はそれぞれの平行多辺形の非対称部分です．
タイルの分割は，そのタイルの点群の対称性に従って行われますので，これらの分割から得られるのは，共型空間群（映進操作を含まない）です．
１つの例外（15番）を除いて，そのタイルの点群の対称操作を非対称部分に作用させ，そのタイルの全体を作ることができます．
このような分割も許される
15番のタイルの場合には，濃い黄緑色に着色した非対称要素に，タイルの点群2mmの対称操作を作用させても，薄い黄緑色に着色した部分へ移動し重ねることができません．この移動には映進操作$${\tilde a}$$が必要です．この図形は平面群，$${p2 \tilde a \tilde b}$$に対応させることができます．
ただし，映進操作は許されないタイル分割からは，共型群がえられ，それから，非共型群を導くというのが王道です．
1枚のタイル内では点群の操作しか許されませんが，無限に繰り返す2次元平面を張り詰めるタイルでは，映進操作も対称操作に含めることができ，非共型群が存在し得ます．
図の45番と46番のタイルは異なる平面群を与えます．
これらの図形の点群を調べると，点群が重複しているものがたくさんあります．全部で共型群の13種類に整理でき，それから生じる非共型群の4種を加えて平面群の17種類が数え上げられます．
注）15番のタイル張りは，以下の⑧に対応．
注）3次元結晶空間に関しては；https://note.com/sgk2005/n/n2b928afa5c3b
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？