小角X線散乱（SAXS）（2）‐ 散乱ベクトルと散乱角の対応表、Porod則

2024年5月21日 18:00

散乱ベクトルと散乱角の対応表と広角での挙動（Porod則）を示しました。

１．散乱ベクトル（h）と散乱角（2θ）の対応表

X線の波長：$${\lambda (\mathrm{CuK\alpha})=0.15418 \:\mathrm{nm}}$$
散乱ベクトル：$${h=\displaystyle \frac{4\pi}{\lambda}\sin\theta}$$
$${1 \:\mathrm{nm}=10\: \AA}$$
$${2\theta}$$：散乱角
$${\theta (度)=\displaystyle \frac{180}{\pi} \theta (ラジアン)}$$

２．光エネルギー（E）と波長（λ）

2.1 関係式

$$
\lambda \;\;(\mathrm{nm})= \dfrac{ch}{E} = \dfrac{1239.841984 \;\; \mathrm{nm \cdot eV}}{E\;(\mathrm{eV})}
$$

$${\lambda}$$：光の波長(nm)、$${c=299\;792\;458 \; \mathrm{m \cdot s^{-1}}}$$：光速度、$${h=6.626\;070\;15 \times 10^{-34} \;\mathrm{J \cdot s}}$$：プランク定数、$${E}$$：光のエネルギー(eV)

2.2 例

（例1） $${E=18 \; \mathrm{keV}}$$のX線の波長$${\lambda = 0.0689 \; \mathrm{nm}}$$
（例2） $${E=8.26 \; \mathrm{keV}}$$のX線の波長$${\lambda = 0.150 \; \mathrm{nm}}$$

３．Porod則 [1~3, 5]

散乱ベクトル$${h}$$が十分大きいとき（広角）、散乱強度は$${h}$$の4乗に逆比例する：

$$
|F(h)|^2\simeq \frac{2\pi\rho^2 S}{h^4} （hが十分大きいとき）
$$

$$
I(h)\simeq \displaystyle A_e^2|F(h)|^2
$$

$${F(h)}$$：構造因子[4]、$${I(h)}$$：散乱強度、$${h}$$：散乱ベクトルの大きさ、$${\rho}$$：電子密度、$${S}$$：粒子の表面積、$${A_e^2}$$：1個の電子の散乱強度[1, 4]

４．モデル形状の広角での挙動

図1 散乱関数P(h)。散乱ベクトルhが大きい領域では、針（Needle）は傾き-1、円板（Disk）とガウス鎖（Gaussian chain）は傾き-2、球（Sphere）と回転楕円体（Spheroid）は傾き-4の直線に近づきます。円柱（Cylinder）は最初傾き-1の挙動から傾き-4の直線に近づくようにみえます。両軸とも対数。横軸は回転半径RGで規格化されています。Pythonで計算しました。

文献

[1] 林久夫、"X線小角散乱入門”、輪講資料、1978.
[2] A. Guinier, G. Fournet, "Small-Angle Scattering of X-rays", John Wiley & Sons, New York, 1955.
[3] 松岡秀樹、"小角散乱の基礎〜X線・中性子の小角散乱から何がわかるか〜"、日本結晶学会誌、1999, 41(4), 213-226.
[4] 小角X線散乱（１）- 基本的なこと
[5] 橋本竹治、"X線・光・中性子散乱の原理と応用"、講談社、2017. 大著です。原理的なことが詳細にしかも網羅的に著されています。

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