分析化学の話（2） - 平均値と標準偏差
平均値と標準偏差の復習をします。
１．平均値と標準偏差
$${N}$$個のデータの平均値を$${\bar{x}}$$[1]、標準偏差を$${s}$$とする：
$$
\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)
$$
$$
s = \sqrt {\dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_N - \bar{x})^2}{N-1}} \quad \quad \quad \quad (2)
$$
２．例題
図1で与えられたデータの平均値と標準偏差を求めよ。
【解答】
$$
平均値(\bar{x}) = \dfrac{115.1 + 100.1 + 102.6 + 112.0 + 111.6}{5} = \dfrac{541.4}{5} = \boldsymbol {108.28}
$$
$$
標準偏差(s) = \sqrt {\dfrac{(115.1 - 108.28)^2 + (100.1 - 108.28)^2 + (102.6 - 108.28)^2 + (112.0 - 108.28)^2 + (111.6 - 108.28)^2 }{5-1}} \\ = \sqrt {\dfrac{6.82^2 + (-8.18)^2 + (-5.68)^2 + (3.72)^2 + (3.32)^2 }{4}} \\ = \sqrt {\dfrac{170.548}{4}} = \sqrt{42.637} = \boldsymbol{6.5} \cdots
$$
【補足1】
標準偏差の有効桁数は通常2桁から4桁のようです。計算の途中では、桁落ちしないように、桁数を少し多く取ります。
【補足2】
同じ平均値でも、データがばらつけばばらつくほど、標準偏差が大きくなります（図3）。逆に標準偏差が大きいとデータのばらつきが大きいとわかります。
【補足3】
表計算ソフトMicrosoft Excel® [2]を用いれば、平均値はaverage関数で、標準偏差はstdev関数で計算できます。たとえば上記の例だと、下図のようになります：
文献とNote
[1] 平均値を$${\langle x \rangle}$$と表すこともあります。
[2] MicrosoftおよびExcelは、米国Microsoft Corporationの、米国およびその他の国における登録商標または商標です。
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