分析化学の話（5） - 誤差（不確かさ）の伝播
誤差（不確かさ）の伝播のイメージを見てみます。
１．足し算（z=x+y）の場合
二つの測定データ$${x}$$と$${y}$$があるとします。これら二つの足し算を測定値$${z}$$（$${z}$$は直接測定しません）とします[1]：
$$
z = x + y \quad \quad \quad \quad (1)
$$
測定データである$${x}$$ と$${y}$$はばらつくので、測定値$${z}$$もばらつきます。
そこで問題です。$${x}$$ と$${y}$$のばらつきの程度を表す標準偏差[2] $${s_x}$$と$${s_y}$$がわかっているとき、$${z}$$の標準偏差$${s_z}$$を推定できるでしょうか？
図1の$${x}$$と$${y}$$は、正規分布に従うランダムなデータです。$${z=x+y}$$です。$${s_z = s_x + s_y = 0.1 + 0.1 = 0.2}$$ではないような気がします。
正解は、
$$
s_z = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{0.1^2 + 0.1^2} = 0.141 …
$$
でも、なぜこうなるんでしょうか？
２．掛け算（z=xy）の場合
今度は掛け算の場合を考えてみます[3]。式で表すと、
$$
z = xy \quad \quad \quad \quad (2)
$$
図2を見ると、$${s_z = s_x + s_y = 0.2+0.4=0.6}$$でも、$${s_z = s_x \times s_y = 0.2 \times 0.4 = 0.08}$$でもなさそうです。
正解は、
$$
s_z = \bar{z} \sqrt{\Big (\dfrac{s_x}{\bar{x}} \Big )^2 + \Big (\dfrac{s_y}{\bar{y}} \Big )^2} = 8 \times \sqrt{\Big (\dfrac{0.2}{2} \Big)^2 + \Big (\dfrac{0.4}{4} \Big )^2} = 8\sqrt{2} \times 0.1 = 1.13
$$
です。なぜこうなるんでしょうか？
文献とNote
[1] 例えば、溶液の質量(z) = 試料の質量(x) + 溶媒の質量(y)。他に何かいい例があれば教えてください。
[2] 平均と標準偏差
N個のデータがあるとする：
$$
x_1, x_2, x_3, \cdots, x_N
$$
$$
平均(\bar{x}) = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N}
$$
$$
標準偏差(s) = \sqrt { \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots +(x_N - \bar{x})^2}{N-1}}
$$
[3] 例えば、試料の量(z) = 溶液の濃度(x) × 溶液の体積(y)。他に何かいい例があれば教えてください。
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