【算数】フィボナッチ数列と倍数についての良問

日本で最も受験生が多い中学校、栄東中（さかえひがし）の算数は、よくある問題に見えて意外と新しいことと、計算が気持ち良く着地する上品な問題が多いことで、楽しい入試問題です。
この問題も、数の理解を深める、教科書に大きく載せたい良問です。

【問題】フィボナッチ数列とＮの倍数

「となり合う２つの数を加えて次の数をつくる」という規則で、下のように整数が2023個並んでいます。
1,1,2,3,5,8,13,21,34……
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)２の倍数は何個ありますか。
(2)５の倍数は何個ありますか。
(3)40の倍数は何個ありますか。

栄東中　2023年

なんてシンプルな問題でしょう。これは有名な「フィボナッチ数列」です。不思議な性質が多く、世界中で研究が続いているようです。

【(1)解説】２の倍数。もちろん調べよう

「1,1,2,3,5,8,13,21,34…」の偶奇を調べると、
「奇、奇、偶／奇、奇、偶／奇、奇、偶…」ラマーズ法のような周期が出てきましたね。偶数は3個に1個、あるいは3の倍数個目に登場するとも言えます。よって、
2023個÷3個＝674あまり1個（あまった１つは奇数）より、674個です。

【(2)解説】５の倍数。何となくで解けちゃう

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…→一の位だけを足していくと、
1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5…と続きます。
５の倍数（一の位が５か０）は、なんだかよく分からないけど均等に５つおきに登場しています。よって、
2023個÷5個＝404あまり3個より、404個。こんな解き方でいいのかな…？

【(3)解説】40の倍数。タネ明かし

上のような解き方だと、40の倍数は大変でしょう。問題を「分解」して、よりよい方法を探りましょう。
１．40の倍数は、(2)で求めた5の倍数で、かつ8の倍数であると気づく。よって、８の倍数が現れる規則を知りたい。
２．しかし、8の倍数の判定は面倒。どうにかできないか？
ここで、「あまりの計算」が役に立ちます。「８の倍数である」ことと「８で割ると余りが０である」ことが同じであることを利用します。そんな当たり前の言い換えが何なのか？やってみましょう。
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…→これを「８で割った余り」に変換すると、
1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,3,5…と周期的に続きます。しかもこれはいちいち割る必要は無く、元の数列のルール「となり合う2つの数を加えて次の数をつくる」で余りも次々に求めています。1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8→8で割った余りは0、という流れです。
　これで８の倍数は６の倍数個目に登場していると分かったので、「５の倍数でかつ８の倍数」は「５の倍数個目かつ６の倍数個目」に登場。つまり「30の倍数個目」に登場します。よって、
2023÷30＝67あまり13より、67個。

【補足】あまりの計算について

　実は３問とも(3)の方法で解けます。「奇数」「偶数」とは、２で割った余りで整数を二分しただけで、(2)(3)のように別の数でも余りで分類することはよくあります。近年このような、余りに注目させる入試問題が増えた、と感じます。
　剰余に注目といえば高校で学ぶ「合同式」ですが、この問題もその性質を利用しています。しかし全く難しいことはなく、「10で割って2余る数と10で割って8余る数を合わせたら、もう一回10で割れる」を理解するだけのことです。数学というよりむしろものすごく算数的な考え方です。計算問題でも役立つので、ぜひ理解してほしい。
　調べてみたところ「合同式」は以前の高校の課程に無く、いつしか加わり、そしてまた消滅するようで、安定しません。もう中学で良いと思います。

剰余の性質を感じる練習問題↓

2023年9月6日