【中学受験算数】2024は「22番目の○○数」！これだけチェックしておこう！

中学入試の算数においては、西暦の問題がよく出されます。「2024」に特有の性質についての第二弾です。前回は「2つの平方数の差」についてでした↓

今回は2024の全く違う側面をご紹介です。むしろ、平方数よりはこちらの方が小学生に出題しやすいかも知れません。

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【問題】分からなければ次の問題を見よ

【問題１】棒より玉

図のように、玉と棒を使って塔を作ります。玉を2024個使うとき、何段目まで作りきることができますか。棒は十分にあるものとします。

算数PLAYオリジナル問題

上から1段目、2段目…とします。

【問題２】こちなき骨子

次のように、数が規則的に並んでいます。2024は何番目の数ですか。
1、4、10、20、35、56、84、120…

算数PLAYオリジナル問題

【問題３】龍王竜馬昇りぬるに

下の図のように、正方形が並んだマスと「辰」の駒があります。各マスは「○条○里」のように呼ぶことにし、「辰」の駒は自身の前か左のどちらかに1マスずつ進める駒とします。次のそれぞれの□に入る数を求めなさい。
(1)4条3里までの進み方は□通りあります。
(2)□条4里までの進み方は2024通りあります。

算数PLAYオリジナル問題

辰降らんとす。

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【解説】2024は「三角錐数」である

3問とも、共通するテーマを別々の形で料理しただけです。言い換えれば、一つの性質を使っていろいろな問題が解けるということです。その性質とはズバリ「2024は22番目の三角錐数さんかくすいすうである」ということです。三角錐数とは、問題１の通り、三角錐の形に点を配置した際の合計の数です。三角数や四角数の3次元バージョンですね。もちろん四角錐数もあります。

答え：【問題１】21段目　【問題２】22番目　【問題３(2)】22

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【解説２・１】規則性で解く

ひとまず問題２の、三角錐数の数列をひもときましょう。
1､4､10､20､35､56､84､120…とあります。

1. 各項の差に注目する方法
   差は、3､6､10､15､21､28､36…となっており、これは正しく「三角数」です。1+2+3+…と整数を足した数ですね。問題１の図で、下に次々に三角形に玉が追加されていくことからも明らかです。よって、例えば10番目の三角錐数を求めるには
   1+3+6+10+15+…+？
   ＝1+(1+2)+(1+2+3)+…(1+2+3+…10)
   ＝(1×10)+(2×9)+…+(9×2)+(10×1)
   と左右対称な式にまとまります。が、結構扱いにくいですね。

2. 1つおきに差を取ってみる方法
   この発想は手段として持っておくのが良いでしょう。奇数番目の差は9､25､49…。偶数番目の差は16､36､64…。と、いずれも平方数になっていることが分かります。よって、例えば10番目は
   (2×2)+(4×4)+(6×6)+(8×8)+(10×10)
   と、先とは別の式で10番目を表現できます。これはこれで面白い！

3. 超大幅リード！の方法
   上の1.2の方法はやや面倒な上、「答えが2024になる場合」を逆探知するのが困難です。これを解決＆理解できる方法を考えました。（Wikipedia様にも書いてありませんでした。）
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