流体力学　学部生によるガウスの発散定理のイメージ

お疲れさまです。日々学んだことをnoteで発信しています。本日はガウスの発散定理について！ガウスの発散定理は２重積分から3重積分に変形できるのですごい便利な式らしいです。

とはいえ初めてガウスの発散定理の式を見たとき2重積分、3重積分、divA、内積など複雑で全然頭に入ってきませんでした^^;

そんな僕でも流体力学の具体例をイメージしたらなんとなく分かった気になれて式もすんなりと頭に入ってきたのです＼(^o^)／
僕のようなガウスの発散定理が頭に入ってこないって人が式のイメージを掴めたらいいな＼(^o^)／

1.ガウスの発散定理の復習

さっそくですが、ガウスの発散定理がどんな式だったのかを軽く復習してみましょう。閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいてベクトル関数A、外向き法線ベクトルをnとすると

上記の式がガウスの発散定理です。理解しないで頭に入れようとすると複雑で絶望的ですよね。

2.物体に流入する流体を表している

流体力学において領域V、閉曲面Sの任意形状の物体に流入する流量を算出する方法として下記の2つのアプローチがあります。

(1)  微小体積からの湧き出しを体積積分する
(2) 微小面積から流入出する流量を閉曲面Sについて面積積分する

ガウスの発散定理でAを流速ベクトルとすると左辺は(1)の方法で、右辺は(2)の方法で任意形状の物体に流入する流量を表してます！

まだ分かりづらいですよね。左辺では微小体積あたりの湧き出しを体積積分しています。すべての微小体積での湧き出しを足し算したら隣り合う要素感での流入と流出はキャンセルされて結局任意形状の物体に流入する流量になるイメージです！

右辺のA・ndSは微小面要素を通る流量を表しています。それを表面積で面積積分しているのでたしかに任意形状の物体に流入する流量になりそうですよね！
A・ndSがどうして微正面要素と通る流量を表すの？って人は下記の記事にまとめているので見てみてください😊

3.さいごに

Aベクトルを流速ベクトルだと考えるとガウスの発散定理は右辺も左辺も任意形状の物体に流入する流量を表していました！ガウスの発散定理の複雑な式も理解しやすくなったのではないでしょうか？みなさんの理解の助けになったら嬉しいです！

最後まで閲覧していただきありがとうございました！