流体力学 微小面要素を通る流量の表し方

お疲れさまです。日々の学習のアウトプットとしてnoteを書いています。本日は微小面要素dSを通る流量について！

uを流速ベクトル、nを単位法線ベクトルとすると

は微小面要素dSを通る流量を表します。どうしてこれが微小面要素dSを通る流量なのでしょうか？

下図のような微小面要素dSに１秒間の間流速uで流体が流入した場合、下のような円柱を考えます。一般的な状態を想定しているので流速ベクトルは微正面要素に対して斜めに入っています。この円柱の体積が1秒間で流入した体積つまり流量となります。

ここが分かりづらいのですが、このとき円柱の高さhは内積の定義より流速uと単位法線ベクトルnの内積で表すことができます。

高さが分かったので円柱の体積を算出すると

(円柱の体積)=dS×h=dS×u・n

円柱の体積が微小面積dSを通る流量dQなので、微小面積dSを通る流量dQは上記(1)の式

dQ=u・n dS

と算出できました！

最後まで閲覧していただきありがとうございました！