📏線形回帰と最小二乗誤差法

線形回帰では通常、最小二乗誤差法（最小二乗法）が前提となっています。この方法では、観測データに対して予測された値と実際の値との差（誤差）の二乗の合計を最小化するように、モデルのパラメータを決定します。これにより、データに最も適合する直線や曲線を見つけることができます。

最小二乗法は、誤差の二乗和を最小にすることで、外れ値の影響を受けにくく、計算が比較的簡単であるため、多くの線形回帰分析で採用されています。この方法は、統計的には「残差の分散を最小化する」とも解釈されます。

最小二乗誤差法以外の線形回帰もありますか？

はい、最小二乗誤差法以外にも線形回帰を行う方法はいくつか存在します。これらの方法は、異なる種類の誤差メトリックを使用するか、あるいは特定のデータの性質や要件に適応するために用いられます。いくつかの代表的な例を挙げます：

1. リッジ回帰（L2正則化）:

   • リッジ回帰は、最小二乗誤差に加えて、回帰係数の二乗和に比例するペナルティ項を加えます。この正則化は、モデルの過学習を防ぎ、係数の大きさを制限するのに役立ちます。

2. ラッソ回帰（L1正則化）:

   • ラッソ回帰では、最小二乗誤差に回帰係数の絶対値の和に比例するペナルティを加えます。これにより、一部の回帰係数を完全にゼロにすることができ、変数選択の効果があります。

3. 弾性ネット:

   • 弾性ネットはリッジとラッソの両方の特性を組み合わせた方法で、L1とL2の正則化を同時に適用します。これにより、多くの相関する特徴が存在する場合のモデルの性能が向上します。

4. 重み付き最小二乗法:

   • 観測データそれぞれに重みを付けて、異なる観測値に異なる重要度を与えながら最小二乗法を適用します。この方法は、データのばらつきが異なる場合や特定のデータ点により高い信頼性を置きたい場合に有効です。

5. 一般化最小二乗法:

   • 誤差項が互いに相関している場合や、非均一な分散を持つ場合に適用される方法です。このアプローチは、誤差の構造を考慮に入れることで、効果的な推定が可能となります。

これらの手法は、データの特性や解析の目的に応じて選択され、最小二乗法に代わるものとして、または補完として使用されます。