🦎マンデルブロ集合とジュリア集合の違い
複素数 c を固定する（ジュリア）かしない（マンデル）かの違い
マンデルブロ集合とジュリア集合には非常に興味深い関係式が存在します。これらのフラクタルは、同じ基本的な反復関数を使用するため、密接な数学的つながりを持っています。以下のような関係式が考えられます。
基本的な反復関数
両方の集合は、次の形式の反復式に基づいています。
zn+1=zn2+cz_{n+1} = z_n^2 + czn+1=zn2+c
この式では、マンデルブロ集合とジュリア集合の違いは、初期条件にあります。
マンデルブロ集合の関係式
マンデルブロ集合では、反復式 zn+1=zn2+cz_{n+1} = z_n^2 + czn+1=zn2+c において、初期値 z0z_0z0 を常に 0 に固定し、複素数 ccc を変数として扱います。
反復によって znz_nzn が無限に発散するかどうかを調べ、発散しない ccc の値がマンデルブロ集合を構成します。
ジュリア集合の関係式
ジュリア集合でも同じ反復式 zn+1=zn2+cz_{n+1} = z_n^2 + czn+1=zn2+c が使われますが、こちらでは ccc は固定された値です。そして、初期値 z0z_0z0 をさまざまな値に設定して、その軌道が発散するかどうかを調べます。
znz_nzn が発散しない初期値 z0z_0z0 の集合がジュリア集合を形成します。
マンデルブロ集合とジュリア集合の関係
マンデルブロ集合とジュリア集合の最も重要な関係式は、次の点にあります。
マンデルブロ集合の点 ccc において、その対応する ジュリア集合は連結 している。
マンデルブロ集合の外側の点 ccc では、その 対応するジュリア集合は分断 されています。
つまり、マンデルブロ集合の中の ccc に対応するジュリア集合は、連続した、つながった形を持ちます。一方、マンデルブロ集合の外側の ccc に対応するジュリア集合は、点が散在したような形（分断されたフラクタル）になります。
関係式の要約
マンデルブロ集合は、ジュリア集合の全体的なパラメーター空間を表しています。各点 ccc は、対応するジュリア集合の ccc の値です。
マンデルブロ集合の点 ccc が集合の内側にある場合、ジュリア集合は連結。
マンデルブロ集合の点 ccc が外側にある場合、ジュリア集合は分断される。
これにより、マンデルブロ集合を探索することは、異なるジュリア集合を生成し、その構造を観察することと密接に結びついています。この関係が、フラクタルの研究で非常に魅力的な点の一つです。
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