異時点間の状態の内積と選好基底問題

古典的な状態の特徴

古典的な状態がどのような特徴を持っているか考えよう。位置$${x}$$に質点がある状態を$${|x \rangle}$$とする。時間が経過すると、質点が停止していない場合は、質点は移動して、$${|x^\prime \rangle}$$の状態になるだろう。$${x \ne x^\prime}$$であるから、異なる時刻の状態の内積はゼロである。式で書くと、$${\langle x^\prime | x \rangle = 0}$$である。一方、質点が停止している場合は、時間が経過しても状態は$${|x \rangle}$$のままで、異なる時刻の状態の内積は1である。このように古典的な状態は、異なる時刻の状態間の内積が0か1であり、0と1以外の値にならないという特徴があると考えられる。

3準位系モデル

現実のモデル（量子電磁力学等）でこのこと（異時点間の状態の内積の値）を検討するのは困難なので、3準位系を考えよう。その正規直交基底の1つを$${|0\rangle, |1\rangle, |2\rangle}$$とする。そして、$${\Delta t}$$秒経過すると、$${|0\rangle}$$は$${|1\rangle}$$に、$${|1\rangle}$$は$${|2\rangle}$$に、$${|2\rangle}$$は$${e^{i\theta}|0\rangle}$$に変化するとしよう。この変化は、ユニタリであるので、時間発展による変化としてありえるように思われる。

状態$${|n \rangle, n \in \{0,1,2\}}$$の$${m \Delta t , m \in \mathbb{N}}$$秒後の状態を$${|n , m \Delta t \rangle}$$と書くことにすると、$${\langle n , (m+1)\Delta t | n , m \Delta t \rangle = 0}$$である。これは、静止していない古典的な状態の特徴$${\langle x^\prime | x \rangle = 0}$$と似ている。

一方、例えば、状態$${\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle}$$とその$${\Delta t}$$後の状態$${\alpha |1\rangle + \beta |2\rangle}$$は、内積が$${\beta^* \alpha}$$なので、$${\alpha = 0}$$か$${\beta = 0}$$でない限り直交していない。状態$${\alpha |1\rangle + \beta |2\rangle}$$とその$${\Delta t}$$後の状態$${\alpha |2\rangle + \beta e^{i \theta}|0\rangle}$$も、状態$${\alpha |0\rangle + \beta |2\rangle}$$とその$${\Delta t}$$後の状態$${\alpha |1\rangle + \beta e^{i \theta}|0\rangle}$$も同様である。状態$${\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle + \gamma |2\rangle}$$とその$${\Delta t}$$後の状態$${\alpha |1\rangle + \beta |2\rangle + \gamma e^{i \theta}|0\rangle}$$も同様かもしれないが、$${\alpha^* \gamma e^{i \theta} + \beta^* \alpha + \gamma^* \beta = 0}$$を満たす絶対値が0と1の間の$${\alpha, \beta, \gamma}$$が存在するかどうかはすぐにはわからないので、別の検討方法で考えよう。

前述した状態の変化は、時刻$${\tau}$$の状態を$${|\varphi(\tau)\rangle}$$と記載することにし、行列を用いて記載すると、

$$
\begin{pmatrix}
  \langle 0 | \varphi((m+1) \Delta t) \rangle \\
   \langle 1 | \varphi((m+1) \Delta t) \rangle\\
  \langle 2 | \varphi((m+1) \Delta t) \rangle
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  \langle 0 | \varphi(m \Delta t) \rangle \\
   \langle 1 | \varphi(m \Delta t) \rangle\\
  \langle 2 | \varphi(m \Delta t) \rangle
\end{pmatrix}
$$

となる。$${|h_i \rangle, i \in \{0,1,2\}}$$を、エネルギーが$${h_i}$$の固有状態、$${U}$$を3行3列のユニタリ行列として、

$$
\begin{pmatrix}
  \langle 0 | \\
   \langle 1 | \\
  \langle 2 |
\end{pmatrix} = U
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |  \\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix}
$$

の関係があるとすると、上記の運動方程式は、

$$
U
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |\\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix} | \varphi((m+1) \Delta t) \rangle =
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
U
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |  \\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix}
| \varphi(m \Delta t) \rangle
$$

となる。上式に$${U^{-1}}$$を左からかけると、

$$
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |\\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix} | \varphi((m+1) \Delta t) \rangle = U^{-1}
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
U
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |  \\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix}
| \varphi(m \Delta t) \rangle
$$

となる。

一方、$${|h_i \rangle, i \in \{0,1,2\}}$$はエネルギーの固有状態であるから、

$$
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 | \\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix} |\varphi((m+1) \Delta t) \rangle =
\begin{pmatrix}
  e^{-i h_0 \Delta t} & 0 & 0 \\
  0 & e^{-i h_1 \Delta t} & 0 \\
  0 & 0 & e^{-i h_2 \Delta t}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 | \\
   \langle h_1 |\\
  \langle h_2 |
\end{pmatrix}
| \varphi(m \Delta t) \rangle
$$

を満たす。上式が任意の$${| \varphi(m \Delta t) \rangle}$$において成り立つということは、

$$
U^{-1}
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
U
=
\begin{pmatrix}
  e^{-i h_0 \Delta t} & 0 & 0 \\
  0 & e^{-i h_1 \Delta t} & 0 \\
  0 & 0 & e^{-i h_2 \Delta t}
\end{pmatrix}
$$

と思われる。左から$${U}$$をかけると、

$$
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
U
= U
\begin{pmatrix}
  e^{-i h_0 \Delta t} & 0 & 0 \\
  0 & e^{-i h_1 \Delta t} & 0 \\
  0 & 0 & e^{-i h_2 \Delta t}
\end{pmatrix}
$$

となる。

$$
U =
\begin{pmatrix}
  u_{00} & u_{01} & u_{02} \\
  u_{10} & u_{11} &  u_{12}\\
  u_{20} & u_{21} &  u_{22}
\end{pmatrix}
$$

として具体的に計算すると、

$$
\begin{pmatrix}
  e^{i \theta} u_{20} & e^{i \theta} u_{21} & e^{i \theta}  u_{22}\\
  u_{00} & u_{01} & u_{02}\\
  u_{10} & u_{11} & u_{12}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  u_{00} e^{-i h_0 \Delta t} & u_{01} e^{-i h_1 \Delta t} & u_{02} e^{-i h_2 \Delta t}\\
  u_{10} e^{-i h_0 \Delta t} & u_{11} e^{-i h_1 \Delta t} & u_{12} e^{-i h_2 \Delta t}\\
  u_{20} e^{-i h_0 \Delta t} & u_{21} e^{-i h_1 \Delta t} & u_{22} e^{-i h_2 \Delta t}
\end{pmatrix}
$$

となる。1列めのみを取り出すと、

$$
\begin{pmatrix}
  e^{i \theta} u_{20} \\
  u_{00} \\
  u_{10}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  u_{00} e^{-i h_0 \Delta t} \\
  u_{10} e^{-i h_0 \Delta t} \\
  u_{20} e^{-i h_0 \Delta t}
\end{pmatrix}
$$

であり、これは、

$$
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  u_{00} \\
  u_{10} \\
  u_{20}
\end{pmatrix}
=
e^{-i h_0 \Delta t}
\begin{pmatrix}
  u_{00} \\
  u_{10} \\
  u_{20}
\end{pmatrix}
$$

とも書ける。2列目のみ取り出すと、

$$
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  u_{01} \\
  u_{11} \\
  u_{21}
\end{pmatrix}
=
e^{-i h_1 \Delta t}
\begin{pmatrix}
  u_{01} \\
  u_{11} \\
  u_{21}
\end{pmatrix}
$$

3列目のみ取り出すと、

$$
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  u_{02} \\
  u_{12} \\
  u_{22}
\end{pmatrix}
=
e^{-i h_2 \Delta t}
\begin{pmatrix}
  u_{02} \\
  u_{12} \\
  u_{22}
\end{pmatrix}
$$

となる。すなわち、$${\begin{pmatrix}u_{00} & u_{10} & u_{20} \end{pmatrix}^\mathsf{T}}$$、$${\begin{pmatrix}u_{01} & u_{11} & u_{21} \end{pmatrix}^\mathsf{T}}$$、$${\begin{pmatrix}u_{02} & u_{12} & u_{22} \end{pmatrix}^\mathsf{T}}$$は、行列

$$
M_3 =
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

の固有ベクトルであり、したがって、位相を除いて一意である。そのため、$${U_{M_3}^{-1}}$$を$${M_3}$$を対角化するユニタリ行列の一つ、$${\vartheta_1,\vartheta_2}$$を任意の実数として、

$$
\begin{pmatrix}
  \langle 0,\vartheta_1,\vartheta_2 | \\
   \langle 1,\vartheta_1,\vartheta_2 | \\
  \langle 2,\vartheta_1,\vartheta_2 |
\end{pmatrix} = U_{M_3}
\begin{pmatrix}
  \langle h_0 |  \\
   e^{i \vartheta_1}\langle h_1 |\\
  e^{i \vartheta_2}\langle h_2 |
\end{pmatrix}
$$

で定義される$${|0,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, |1,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, |2,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle}$$は$${\Delta t}$$秒後の状態と直交するだろう。すなわち、$${\alpha^* \gamma e^{i \theta} + \beta^* \alpha + \gamma^* \beta = 0}$$を満たす絶対値が0と1の間の$${\alpha, \beta, \gamma}$$が存在するということである。

このように異時点間の状態が直交するという条件から決められる3準位系の状態（正規直交基底を構成する$${|0,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, |1,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, |2,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle}$$という3つの状態）は、$${\vartheta_1,\vartheta_2}$$という実数2つの不定性があり、ユニークに定まるわけではない。しかし、実数2つの不定性しかないということは、任意の正規直交基底よりも少ない。すべての正規直交基底の集合を

$$
\mathfrak{B}_3 = \{\{ \hat{U} |0,0,0 \rangle, \hat{U} |1,0,0 \rangle, \hat{U} |2,0,0 \rangle \}\, | \, \hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1} \} \\
= \{\{ \hat{U} |h_0 \rangle, \hat{U} | h_1\rangle, \hat{U} |h_1 \rangle \}\, | \, \hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}\}
$$

とし、上記の検討で求めた古典的な性質を持つ正規直交基底の集合を

$$
\mathfrak{M}_3 = \{\{e^{i \xi_0} |0,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, e^{i \xi_1} |1,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle, e^{i \xi_2} |2,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle \}\, | \, \vartheta_1,\vartheta_2, \xi_0, \xi_1, \xi_2 \in \mathbb{R}\}
$$

とすると、$${\mathfrak{M}_3 \subsetneqq \mathfrak{B}_3}$$である。

すなわち、$${\mathfrak{M}_3}$$の元は、系の正規直交基底の中で、特別な基底ということができる。物理的な仮定の元で特別な直交基底が選定できるということは、多世界解釈の選好基底問題が解消できる可能性があるということである。その直交基底は、状態のヒルベルト空間で定まるのではなく、ハミルトニアン$${\hat{H}}$$により定まる。

N準位系への拡張

上記の検討は、3準位系で行ったが、類似の検討を任意の$${N}$$準位系で行うことができる。ただし、$${\langle n , (m+1)\Delta t | n , m \Delta t \rangle = 0}$$の条件だけでは不十分で、任意の$${m,m^\prime \in \mathbb{N}}$$において$${\langle n , m^\prime\Delta t | n , m \Delta t \rangle = 0 \text{ or } 1}$$を求める必要がある。もしかしたら考え漏れがありより強い条件が必要かもしれないが、少なくとも時間間隔$${\Delta t}$$での状態変化が、$${N}$$行$${N}$$列の行列

$$
M_N =
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 &
e^{i \theta} \\
  1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0 & \cdots & 0 &0\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 &0\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$

であることを仮定すれば、同様の検討が行える。すなわち、$${N}$$準位系の正規直交基底全体の集合$${\mathfrak{B}_N}$$の真部分集合
$${\mathfrak{M}_N}$$で、その元が古典的であるものが存在する。

それでは、$${\mathfrak{M}_N}$$は、どのような集合なのであろうか。証明したわけではないが、SymPyを用いて$${N \lt 10}$$ぐらいの範囲で$${M_N}$$の固有ベクトル（結果的に$${M_N}$$を対角化する$${U_{M_N}^{-1}}$$）を具体的に求めてみると、$${\mathfrak{M}_N}$$の元の元（状態）は、各エネルギー値の固有状態を同じウェイトで重ね合わせた状態であると思われる。すなわち、$${|m \rangle \in V_M \in \mathfrak{M}_N}$$で

$$
|m \rangle = \sum_{n=0}^{N-1} c_n |h_n \rangle
$$

とすると、すべての$${n}$$において、$${|c_n|=\frac{1}{\sqrt{N}}}$$である。ただし、$${|h_n \rangle}$$はハミルトニアンの固有状態であり、$${\hat{H}|h_n \rangle = h_n|h_n \rangle}$$である。

ヒルベルト空間への拡張

それでは、通常の量子力学の無限次元のヒルベルト空間に前節の検討を拡張しよう。まず考えられるのは、前述の$${M_N}$$において、$${N \to \infty}$$とした系である。$${N \to \infty}$$において、$${\Delta t}$$が人間の感覚、実験装置の時間分解能に比べて十分に小さければ、連続的な時刻のもとでも、時刻が異なれば状態が直交するという古典的なイメージに合致するだろう。

次に考えられるのは、$${\Delta t}$$間隔の状態変化が、下記のような無限行列で表される系である。

$$
\left(
\begin{array}{c|c|c|c}
 M_{N_1}(\theta_1) & 0  & 0 & \cdots \\ \hline
0 & M_{N_2}(\theta_2) & 0 &\cdots \\ \hline
0 & 0 & M_{N_3}(\theta_3) &\cdots \\ \hline
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  \\
\end{array}
\right)
$$

上式で、$${M_{N_n}(\theta_n)}$$は、

$$
M_{N_n}(\theta_n) =
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 &
e^{i \theta_n} \\
  1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0 & \cdots & 0 &0\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 0 &0\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$

の$${N_n}$$行$${N_n}$$列の行列である。

こうした性質を有する状態の空間（ヒルベルト空間）を$${\mathcal{H}_{M_\infty}}$$と表記することにしたい。

$${\mathcal{H}_{M_\infty}}$$は、無限次元のヒルベルト空間であるから、連続値（実数値）をとる物理量を用いても定式化できる可能性がある。以下では、これが可能と想定しよう。前節のすべての$${n}$$において、$${|c_n|=\frac{1}{\sqrt{N}}}$$な状態$${|m \rangle = \sum_{n=0}^{N-1} c_n |h_n \rangle}$$に相当する連続値（実数値）版の状態は

$$
|t \rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} \int dh e^{i f(h,t)} |h \rangle
$$

であろう（簡単のため縮退はないとしている。）。ここで、$${f(h,t)}$$は$${h}$$と$${t}$$の実数値関数で、$${|h \rangle}$$は連続値をとるハミルトニアンの固有状態であり、$${\hat{H}|h \rangle = h|h \rangle}$$である。$${\frac{1}{\sqrt{Z}}}$$は正規化のための係数である。ここで、$${t}$$は時刻を表すとしよう。すなわち、

$$
|t^\prime \rangle = e^{-i(t^\prime -t)\hat{H}} |t \rangle
$$

とする。そうすると、異時点間の状態が直交するという本稿で検討している選好基底の選定のための古典的状態の条件は、

$$
\langle t^\prime | t \rangle = \delta(t^\prime - t)
$$

であろう。$${t^\prime = t + \tau}$$とすると、

$$
\langle t + \tau | t \rangle \\
=  \frac{1}{Z} \int dh^\prime e^{-
i f(h^\prime, t + \tau)} \int dh e^{i f(h,t)} \langle h^\prime |h \rangle \\
=  \frac{1}{Z} \int dh^\prime e^{-
i f(h^\prime, t + \tau)} \int dh e^{i f(h,t)} \delta( h^\prime - h) \\
=  \frac{1}{Z} \int dh e^{i f(h,t) - i f(h, t + \tau)} \\
=  \frac{1}{Z} \int dh e^{-i ( f(h, t + \tau) - f(h,t))}\\
= \delta(\tau)
$$

となる。従って、$${\int dh e^{-i ( f(h, t + \tau) - f(h,t))}}$$は$${t}$$に依存しない。そのため、もしかしたら積分したら依存性が消失する場合もあるのかもしれないが、多分、

$$
f(h, t + \tau) - f(h,t) = g(h,\tau)
$$

である関数$${g}$$が存在する必要があるだろう。すなわち、

$$
\frac{1}{Z} \int dh e^{-i g(h, \tau)}
= \delta(\tau)
$$

である。ところで

$$
\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk
$$

であるので、エネルギーの値がマイナス無限大から無限大まで分布しており、

$$
Z =2\pi, \\
g(h, \tau) = -h \tau
$$

の場合、$${\langle t + \tau | t \rangle = \delta(\tau)}$$となる。

$$
\langle t |e^{i \hat{H}\tau} |t \rangle = \delta(\tau)
$$

と書いても良いであろう。通常は$${h \ge 0}$$とするが、絶対値に意味はないため、どのように大きなエネルギーの状態もありえるのであれば、基準値をずらすことにより、任意の精度で$${\langle t + \tau | t \rangle \to \delta(\tau)}$$とできると思われる。

$$
f(h, t + \tau) - f(h,t) = -h \tau
$$

において$${t=0}$$とすると、

$$
f(h, \tau) =f(h,0)  -h \tau
$$

なので、

$$
|t \rangle = \frac{1}{\sqrt{2
\pi}} \int dh e^{-iht} e^{i f(h,0)} |h \rangle
$$

である。

$$
|t^\prime \rangle = e^{-i(t^\prime -t)\hat{H}} |t \rangle
$$

であるためには、$${f(h,0)}$$は$${h}$$に依存しない必要があるだろう。したがって、位相の自由度を除いて、

$$
|t \rangle = \frac{1}{\sqrt{2
\pi}} \int dh e^{-iht} |h \rangle
$$

である。有限次元の$${\mathfrak{M}_N}$$とは定義が異なるが、この$${|t \rangle}$$の集合を$${\mathfrak{M}_\infty}$$と呼ぶことにしよう。すなわち、$${\mathfrak{M}_\infty = \{|t \rangle \, | \, t \in \mathbb{R} \}}$$である。任意の状態$${|\varphi\rangle \in \mathcal{H}_{M_\infty}}$$を

$$
|\varphi\rangle = \int_{-\infty}^\infty dt \varphi(t)|t \rangle
$$

と書けたとしても$${\mathfrak{M}_\infty}$$を正規直交基底とは呼ばないだろうが、$${\mathfrak{M}_\infty}$$は状態の分け方（重ね合わせとしての分解方法）を決めるものであり、$${\mathfrak{M}_\infty}$$がユニークであれば、多世界解釈の選好基底問題は解消されたといってよいだろう。状態を重ね合わせ状態として表示する客観的なユニークな基準があれば、多世界解釈の選好基底問題は解消されたといって良いと思われるからである。

あらためて、連続値の固有状態と正規直交基底（例示として3準位系の場合）との違いを記載しておこう。3準位系の特別な正規直交基底の集合$${\mathfrak{M}_3}$$の元の元の一つ$${|0,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle \in V_M \in \mathfrak{M}_3}$$は、集合$${\mathfrak{M}_3}$$の別の元$${V^\prime_M \in \mathfrak{M}_3}$$の元の線形結合でありえる。すなわち、

$$
\{|0,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle , |1,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle , |
2,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle \} \in \mathfrak{M}_3
$$

として、$${|\alpha| \ne 1}$$で

$$
|0,\vartheta_1,\vartheta_2 \rangle = \alpha |0,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle +\beta |1,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle + \gamma |
2,\vartheta^\prime_1,\vartheta^\prime_2 \rangle
$$

が成り立つ。したがって、状態の分解は$${\mathfrak{M}_3}$$により一意には定まらない。選好基底問題は解消しないということである。一方、$${\mathfrak{M}_\infty}$$の場合には、$${|t\rangle \in \mathfrak{M}_\infty}$$として

$$
|t\rangle = \int_{|\tau \rangle \in \mathfrak{M}_\infty} d\tau \varphi(\tau)|\tau \rangle
$$

とすると、$${\langle s |}$$との内積をとることで、

$$
\langle s|t\rangle = \delta(s-t) \\
= \int_{|\tau \rangle \in \mathfrak{M}_\infty} d\tau \varphi(\tau)\langle s|\tau \rangle \\
= \int_{|\tau \rangle \in \mathfrak{M}_\infty} d\tau \varphi(\tau) \delta(s-\tau) \\
= \varphi(s)
$$

となる。つまり、$${\varphi(s)=\delta(s-t)}$$であり、$${|t\rangle \in \mathfrak{M}_\infty}$$は、$${t}$$ではない$${s}$$の$${|s\rangle \in \mathfrak{M}_\infty}$$の重ね合わせ状態ではない。したがって、ユニークな$${\mathfrak{M}_\infty}$$により選好基底問題は解消される（選好基底が決まらなくても選好基底問題が解消されえるので、選好基底問題というネーミングは不適切であり、別の名前に変えるべきであろう。）。

連続固有値古典的状態の一意性について

$${\mathfrak{M}_\infty}$$の一意性について改めて検討しておきたい。

$$
\mathfrak{M}_\infty =
\{ \frac{1}{\sqrt{2
\pi}} \int dh e^{-iht} |h \rangle \, | \, t \in \mathbb{R}, \hat{H}|h \rangle = h |h \rangle , \langle h^\prime | h \rangle = \delta(h^\prime -h)\}
$$

と定義すると、定義により$${\mathfrak{M}_\infty}$$は一意であろうと思われる。

$$
\mathfrak{M}_\infty =
\{ e^{-i\hat{H}t} |a \rangle \, | \, t \in \mathbb{R}, \langle a | e^{-i\hat{H}\tau} |a \rangle\ = \delta(\tau)\}
$$

と定義すると、$${\mathfrak{M}_\infty}$$は

$$
\{ e^{-i\hat{H}t} |b \rangle \, | \, t \in \mathbb{R}, \langle b | e^{-i\hat{H}\tau} |b \rangle = \delta(\tau)\}
$$

かもしれない。それぞれを$${\mathfrak{M}_\infty (|a \rangle)}$$、$${\mathfrak{M}_\infty (|b \rangle)}$$と表記することにすると、$${\mathfrak{M}_\infty (|a \rangle) \ne \mathfrak{M}_\infty (|b \rangle)}$$のこともありえるだろう。

ある$${t \in \mathbb{R}}$$において、$${|b\rangle = e^{-i\hat{H}t}|a\rangle}$$であれば、$${\mathfrak{M}_\infty (|a \rangle) = \mathfrak{M}_\infty (|b \rangle)}$$であろう。

すべての$${t \in \mathbb{R}}$$において$${\langle b |e^{-i\hat{H}t}|a\rangle =0}$$となる場合は、$${\mathfrak{M}_\infty}$$はユニークとはいえないだろう。$${|c \rangle = \alpha |a \rangle + \beta | b \rangle}$$とすると、

$$
\langle c | e^{-i\hat{H}t} |c \rangle \\
= (|\alpha|^2 + |\beta|^2) \delta(t) + \beta^* \alpha \langle b| e^{-i\hat{H}t} |a \rangle + \alpha^* \beta \langle a| e^{-i\hat{H}t} |b \rangle \\
= (|\alpha|^2 + |\beta|^2) \delta(t)
$$

であるから、$${| a \rangle}$$と$${| b \rangle}$$に分かれるとは限らず、$${|c \rangle}$$と直交する状態を$${|d \rangle}$$とすると、$${\mathfrak{M}_\infty (|a \rangle)}$$と$${\mathfrak{M}_\infty (|b \rangle)}$$の代わりに、$${\mathfrak{M}_\infty (|c \rangle)}$$と$${\mathfrak{M}_\infty (|d \rangle)}$$でも良いからである。

だからといって、選好基底問題の解消をあきらめなければならなというわけでは必ずしもないと思われる。$${|a \rangle = |0 \rangle_{M_\infty} \otimes |a \rangle_2}$$とテンソル積に分解できる場合がある。加えて、ハミルトニアンが$${\hat{H} = \hat{H}_{M_\infty} + \hat{H}_2}$$と分解できるとすると、

$$
\mathfrak{M}_\infty =
\{ e^{-i\hat{H}_{M_\infty} t} |0 \rangle_{M_\infty} \, | \, t \in \mathbb{R}, \langle 0 | e^{-i\hat{H}_{M_\infty} \tau} |0\rangle_{M_\infty} = \delta(\tau)\}
$$

が考えられる。これは一意のことも$${\hat{H}_{M_\infty}}$$によってはあるだろう。$${|b \rangle}$$は、ある$${\tau \in \mathbb{R}}$$において$${|b \rangle =  e^{-i\hat{H}_{M_\infty} \tau}|0 \rangle_{M_\infty} \otimes |b \rangle_2}$$となるだろう。ただし、すべての$${t \in \mathbb{R}}$$において$${\langle b |e^{-i\hat{H}t}|a\rangle =0}$$となるとしているので、$${t =\tau}$$においても$${\langle b |e^{-i\hat{H}t}|a\rangle =0}$$である必要があり

$$
\langle b |e^{-i\hat{H}\tau}|a\rangle \\
= \langle 0 |e^{i\hat{H}_{M_\infty} \tau} e^{-i\hat{H}_{M_\infty} \tau}|0 \rangle_{M_\infty} \langle b |e^{-i\hat{H}_2 \tau}|a \rangle \\
=\delta(0) \langle b |e^{-i\hat{H}_2 \tau}|a \rangle
$$

なので、$${\langle b |e^{-i\hat{H}_2 \tau}|a \rangle = 0}$$である必要がある。

最後に、MECEでない気がするが、$${\langle b |a\rangle \ne 0}$$の場合を検討しよう。$${|b \rangle = \int ds \varphi(s) e^{-i\hat{H}s}|a\rangle}$$とする。そうすると、

$$
\langle b | e^{-i\hat{H}t} |b \rangle \\
= \int ds^\prime \langle a | \varphi^*(s^\prime) e^{i\hat{H}s^\prime} e^{-i\hat{H}t} \int ds \varphi(s) e^{-i\hat{H}s}|a\rangle \\
=\int ds^\prime \int ds \varphi^*(s^\prime)  \varphi(s) \langle a | e^{-i\hat{H}(s + t - s^\prime)}|a\rangle \\
=\int ds^\prime \int ds \varphi^*(s^\prime)  \varphi(s) \delta(s +t - s^\prime) \\
= \int ds \varphi^*(s + t)  \varphi(s)
$$

は$${\delta(t)}$$であるから、

$$
\int ds \varphi^*(s + t)  \varphi(s) = \delta(t)
$$

が成り立つ必要がある。デルタ関数は偶関数であるから、これを

$$
\int ds \varphi(s) \varphi^*(s - t)   = \delta(t)
$$

と書き換えると、$${\varphi(s)}$$と$${\varphi^*(s)}$$の畳み込み積分がデルタ関数である。畳み込み積分のフーリエ変換はフーリエ変換の積で、複素共役のフーリエ変換は変数の符号を逆転したフーリエ変換の複素共役であるから、$${\varphi(s)}$$のフーリエ変換を$${F(\xi)}$$すると、

$$
F(\xi)F^*(-\xi)=1
$$

である。したがって、$${|F(0)|=1}$$である必要がある。これは、ある$${\phi \in \mathbb{R}}$$において、$${F(0)=e^{i\phi}}$$ということである。$${\xi \ne 0}$$も考えるなら、$${\xi \ge 0}$$で定義される$${G(0)=e^{i\phi}}$$の任意の関数を$${G(\xi)}$$として

$$
F(\xi) =
\begin{dcases}
G(\xi) & \text{if} \, \xi \ge 0 ,\\ \\
\frac{1}{G^*(-\xi)} & \text{if}\,  \xi \lt 0
\end{dcases}
$$

と書いても良いだろう。特段そうでなければいけない理由を私は知らないが、$${F(\xi)}$$は$${C^\infty}$$級だとすると、

$$
\frac{dF(\xi)}{d\xi} =
\begin{dcases}
\frac{dG(\xi)}{d\xi} & \text{if} \, \xi \ge 0 ,\\ \\
\frac{\dfrac{dG^*(-\xi)}{d\xi}}{G^{*2}(-\xi)} & \text{if}\,  \xi \lt 0
\end{dcases}
$$

であるから、

$$
\lim_{\xi \to -0}\frac{dF(\xi)}{d\xi} = \lim_{\xi \to +0}\frac{dF(\xi)}{d\xi}
$$

であるためには、

$$
G^{*2}(0)\frac{dG(0)}{d\xi} = \left( \frac{dG(0)}{d\xi} \right)^*
$$

である必要がある。$${r_1  \in \mathbb{R} \ge 0, \phi_1 \in \mathbb{R}}$$として、$${\frac{dG(0)}{d\xi} = r_1 e^{i\phi_1}}$$とすると、

$$
e^{-2i\phi}r_1 e^{i\phi_1}= r_1 e^{-i\phi_1}
$$

となる。したがって、$${r_1}$$は任意で良く、$${\phi_1 = \phi}$$である。

もう一度微分すると、

$$
F^{(2)}(\xi) =
\begin{cases}
G^{(2)}(\xi) & \text{if} \, \xi \ge 0 ,\\ \\
2G^\prime(-\xi)^{2*} G^*(-\xi)^{-3} - G^{(2)}(-\xi)^* G^*(-\xi)^{-2}& \text{if}\,  \xi \lt 0
\end{cases}
$$

となる。したがって、

$$
G^{*3}(0)G^{(2)}(0) = 2G^\prime(0)^{2*}  - G^{(2)}(0)^* G^*(0)
$$

である必要がある。$${r_2  \in \mathbb{R} \ge 0, \phi_2 \in \mathbb{R}}$$として、$${G^{(2)}(0) = r_2 e^{i\phi_2}}$$とすると、

$$
e^{-3i\phi}r_2 e^{i\phi_2}= 2 r_1^2 e^{-2i\phi} - r_2 e^{-i\phi_2}e^{-i\phi}
$$

である必要がある。少し書き換えると、

$$
e^{-2i\phi}r_2 e^{i\phi_2}= 2 r_1^2 e^{-i\phi} - r_2 e^{-i\phi_2}
$$

であり、実数としてみば上式は2つの方程式であり、$${r_2}$$と$${\phi_2}$$は$${r_1}$$と$${\phi}$$の関数として定まると思われる。同様に3階微分を$${G^{(3)}(0) = r_3 e^{i\phi_3}}$$とすると、$${r_3}$$と$${\phi_3}$$は$${r_2}$$と$${\phi_2}$$を経由して、最終的には$${r_1}$$と$${\phi}$$の関数として定まると思われる。このようにして、任意の$${n \in \mathbb{N}}$$おいて、$${n}$$階微分の値$${G^{(n)}(0)}$$は、$${r_1}$$と$${\phi}$$の値によって定まるだろう。したがって、$${F(\xi)}$$を解析関数に限定すれば、それは$${r_1}$$と$${\phi}$$の2つの実数分しか違いがないということになるだろう。すなわち、$${\varphi(s)}$$は2つの実数分しか違いがないということになるだろう。

ところで、 $${|t \rangle_{M_\infty}}$$をすべての$${t \in \mathbb{R}}$$について$${e^{i\phi}|t \rangle_{M_\infty}}$$に変換すること（$${\varphi(s)=e^{i\phi}\delta(s)}$$の場合）は、物理的にはなんの違いも生まない。また、すべての$${t \in \mathbb{R}}$$について$${|t \rangle_{M_\infty}}$$を$${|t + r \rangle_{M_\infty}}$$に変換すること（$${\varphi(s)=\delta(s -r)}$$の場合）は、無限に続く時間の並行移動であるから、$${\mathfrak{M}_\infty}$$に違いはもたらさない。このように実数2つ分の不定性は$${\mathfrak{M}_\infty}$$に内在しているので、$${r_1}$$と$${\phi}$$の不定性があっても物理的には$${\mathfrak{M}_\infty}$$はユニークであるといって良い可能性はありそうに思える。

加えて、$${\int ds |\varphi(s) |^2 = 1}$$から、$${\int d\xi |F(\xi) |^2 = 1}$$である必要があり、この条件から$${r_1}$$の値は定まるかもしれない。いずれにしても、$${F(\xi)}$$を解析関数に限らなければ、$${F(\xi)}$$は限りなく不定と思われ、逆に数学的概念で定義できるのであればなんでもかまわないということであれば、$${\mathfrak{M}_\infty}$$をユニークにする条件は様々に考えられる可能性がある。そのため、以下では、$${\mathfrak{M}_\infty}$$をユニークとする何らかの数学的概念による条件があるとして検討を続けることにしたい。

宇宙の波動関数・宇宙の量子状態

$${\mathfrak{M}_\infty}$$の重ね合わせ状態全体を$${\Phi^*_\infty}$$と表記することにしよう。その際、$${\Phi^*_\infty}$$には、$${\mathfrak{M}_\infty}$$の元も含まれるとしたい。すなわち、$${S}$$を少なくとも自乗可積分函数とデルタ関数を含む適当な超関数（自乗可積分函数も含む）の集合として

$$
\Phi^*_\infty = \{\int dt \varphi(t)|t\rangle \, | \, |t\rangle \in \mathfrak{M}_\infty, \varphi(\cdot) \in S\}
$$

とする。そうすれば、$${\mathfrak{M}_\infty \subset \Phi^*_\infty}$$であろう。$${\Phi^*_\infty}$$の元は、$${\mathfrak{M}_\infty}$$により分かれ方が物理的に決まっている。多世界解釈の用語で表現すれば、$${\Phi^*_\infty}$$の元の宇宙の波動関数は、$${\mathfrak{M}_\infty}$$の元の世界に分かれるということである。

電子1個だけ存在する状態や、電子1個と陽子1個が存在する状態は、$${\Phi^*_\infty}$$の元ではないと思われる。電子1個の状態に、特別な分かれ方が存在するとは考えられないからである。$${\Phi^*_\infty}$$の元は、極めて多数の電子や原子核を含む、いわゆるマクロな状態のみであろう（マクロな状態が$${\Phi^*_\infty}$$の元である根拠は本稿ではまったく示していないので、可能性があるというだけのことである。）。空間が無限に広がっていることを考えれば、無限個の電子と原子核を含む状態のみが$${\Phi^*_\infty}$$の元であるかもしれない（すなわち無限遠で真空になる状態は$${\Phi^*_\infty}$$の元ではないかもしれない。）。もちろん、電磁相互作用のハミルトニアンによる運動は、どのように検討してみても空集合以外の$${\mathfrak{M}_\infty}$$を含まない可能性もある。しかし、あり得ない理由も知られていないだろう（単に私が知らないだけかもしれないが）。そのため、宇宙の状態は、$${\Phi^*_\infty}$$の元$${|\Phi \rangle_{M_\infty}}$$と$${\Phi^*_\infty}$$ではないヒルベルト空間$${\mathcal{H}_q}$$の元$${|\varphi \rangle_{q}}$$のテンソル積$${|\Phi \rangle_{M_\infty} \otimes |\varphi \rangle_{q}}$$により表されるかもしれない。そうだとすると、そのハミルトニアンは、$${\hat{H} = \hat{H}_{M_\infty} + \hat{H}_q + \hat{H}_\text{I}}$$と分解されるだろう。$${\hat{H}_{M_\infty}}$$は、$${|\Phi \rangle_{M_\infty}}$$の変化を決め、$${\hat{H}_q}$$は$${|\varphi \rangle_{q}}$$の変化を決め、$${\hat{H}_\text{I}}$$は、$${|\Phi \rangle_{M_\infty}}$$と$${|\varphi \rangle_{q}}$$の相互作用である。

$${s \ne t, |s \rangle \in \mathfrak{M}_\infty, |t \rangle \in \mathfrak{M}_\infty}$$として、$${|\Phi \rangle_{M_\infty} = \alpha |s \rangle + \beta |t \rangle}$$であれば、宇宙は（宇宙の波動関数は）$${|s \rangle}$$と$${|t \rangle}$$の世界に分かれているといって良いと私には思われる。$${|s \rangle}$$と$${|t \rangle}$$はそれぞれ古典的に振る舞い、$${|\Phi \rangle_{M_\infty}}$$のそれらへの分解はユニークだからである。

$${|v \rangle_{M_\infty} \otimes | \varphi \rangle_{q}}$$が時間が進むと、$${\alpha |s\rangle_{M_\infty} \otimes | \varphi^\prime \rangle_{q} + \beta |t\rangle_{M_\infty} \otimes | \varphi^{\prime\prime} \rangle_{q}  }$$になり、$${s \ne t}$$なのであれば、$${| \varphi \rangle_{q}}$$により世界は$${|s \rangle_{M_\infty} \otimes | \varphi^\prime \rangle_{q}}$$と$${|t \rangle_{M_\infty} \otimes | \varphi^{\prime\prime} \rangle_{q}}$$に分かれたと言って良いと私は思う。例えば、$${| \varphi^{\prime} \rangle_{q}}$$はある方向のスピンが$${\frac{1}{2}}$$の状態で、$${|s\rangle_{M_\infty}}$$はスピン$${\frac{1}{2}}$$を測定した測定器を含む状態、$${| \varphi^{\prime\prime} \rangle_{q}}$$はある方向のスピンが$${-\frac{1}{2}}$$の状態で、$${|t\rangle_{M_\infty}}$$はスピン$${-\frac{1}{2}}$$を測定した測定器を含む状態である。

まとめ

これまでの検討を整理すると、かなり飛躍があるが以下のようになるだろう。

多世界解釈の選好基底問題を解消するためには、宇宙の状態の全ヒルベルト空間$${\mathcal{H}}$$に物理的な要請で定まる選好基底（正規直交基底）が存在する必要はない。古典的な状態はノルムが無限大なため、$${\mathcal{H}}$$を拡張して無限大ノルムの状態も含む空間を考え、それを$${\Phi^*_\infty}$$とヒルベルト空間$${\mathcal{H}_q}$$のテンソル積$${\Phi^*_\infty \otimes \mathcal{H}_q}$$とみなした際に、$${\mathcal{H}_q}$$の方については特定の状態$${|\varnothing \rangle_q \in \mathcal{H}_q}$$に固定した状態$${|\Psi \rangle_{M_\infty} \otimes |\varnothing \rangle_q}$$に、古典的な状態という物理的な条件（前述の例では異時点の状態間の内積がデルタ関数という条件）で決まる特別な状態があれば十分である。宇宙の状態の部分空間に物理的な条件で決まる単位の分解があれば多世界解釈の選好基底問題は解消されるといっても良いかもしれない。

$${\Phi^*_\infty}$$に古典的な状態という物理的な条件で決まる特別な状態（その特別な状態の集合が$${\mathfrak{M}_\infty}$$）が存在するか否かは、宇宙の状態をテンソル積に分解したのに合わせて、宇宙のハミルトニアン$${\hat{H}}$$を$${\hat{H}_{M_\infty} + \hat{H}_q + \hat{H}_\text{I}}$$と分解した際に、$${\Phi^*_\infty}$$のハミルトニアン$${\hat{H}_{M_\infty}}$$が特定の条件を満たすか否かによって決まる。また、ユニークな$${\mathfrak{M}_\infty}$$があるときには、それは$${\hat{H}_{M_\infty}}$$によってきまる。なお、$${\hat{H}_q}$$はヒルベルト空間$${\mathcal{H}_q}$$のハミルトニアンであり、$${\hat{H}_\text{I}}$$は空間$${\Phi^*_\infty}$$と空間$${\mathcal{H}_q}$$の相互作用で、$${|\varnothing \rangle_q}$$においては$${0}$$、すなわち、

$$
\hat{H}_\text{I}|\Psi \rangle_{M_\infty} \otimes |\varnothing \rangle_q = 0
$$

である。

ただし、上記が成り立ったとしても宇宙の状態を世界に分ける方法は物理的に決まるとはいえないかもしれない。ハミルトニアンの分解の仕方に2種類以上があり、つまり、

$$
\hat{H}_{M_\infty} + \hat{H}_q + \hat{H}_\text{I}
= \hat{H}^\prime_{M_\infty} + \hat{H}^\prime_q + \hat{H}^\prime_\text{I}
$$

であり、$${\hat{H}^\prime_{M_\infty}}$$においても特別な状態の集合$${\mathfrak{M}^\prime_\infty}$$が存在すれば、宇宙の状態の世界への分かれ方はユニークとはいえいないからである。

蛇足

長々と多世界解釈の選考基底問題の解消の可能性について考察してきたが、これは私が他世界解釈をコペンハーゲン解釈よりも望ましい解釈と考えているからではない。私は、射影仮説と多世界解釈における世界への分離は本質的に同じであり、コペンハーゲン解釈においても私の疑問の解消に選好基底問題の検討が有用であろうと感じている。それが選好基底問題を私が考察する理由である。

ユニークな$${\mathfrak{M}_\infty}$$の存在可否は、量子力学の解釈という形而上学ではなく、形而下学、物理学、数理科学の対象でありえるように私には思われる。$${\mathfrak{M}_\infty}$$がユニークではないという反例が具体的に見つかれば、それはそれで私は嬉しい。私には、多世界解釈が解釈として成り立ち続けて欲しいという希望は特段ないからである。なんにしろ、何か新しいことがわかることは嬉しいことである。