シュレディンガーの猫の不存在証明vs純粋状態実在論
シュレディンガーの猫の状態は、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle
$$
というように書けるとされることが多いだろう（そもそもシュレディンガーの猫の状態を書く人が少ないが。）。ここで、$${|😸\rangle}$$は生きた猫、$${|🙀\rangle}$$は死んだ猫である。しかし、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle
$$
も生きた猫と死んだ猫の重ね合わせ状態である。また、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle - i \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle
$$
も生きた猫と死んだ猫の重ね合わせ状態である。もちろん、上記の3つの状態は、量子論的には異なる状態である。五分五分の確率で死ぬことはわかっていても（正確に5割の確率で猫が死ぬ実験は計画できても）、実験後の状態が上記のうちどれだかはわからない。すなわち、シュレディンガーの猫の実験でできる状態は、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle
$$
ではあることはわかっているが、$${\theta \in \mathbb{R}}$$の値はわからない状態である。普通に考えれば$${\theta \in \mathbb{R}}$$の一様分布だと思われるので、シュレディンガーの猫の状態は密度行列で書くと
$$
\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta (\frac{1}{\sqrt{2}} |😸\rangle + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle) (\frac{1}{\sqrt{2}}\langle😸| + \frac{e^{-i\theta}}{\sqrt{2}}\langle🙀|) \\
= \frac{1}{2}|😸\rangle \langle😸| + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle🙀|
$$
である。当然であるが、この計算には、
$$
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi, \\
\int_0^{2\pi} d\theta \, e^{i\theta} = 0, \\
\int_0^{2\pi} d\theta \, e^{-i\theta} = 0
$$
を用いた。
シュレディンガーの猫の不存在証明
ところで、決定論的な時間進展で、どうして、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle
$$
における$${\theta \in \mathbb{R}}$$という不定性が出現するのであろうか？ 時間進展が決定論であることを考えると、これはもともと始状態の不定性ではないかと思われる。すなわち、始状態の微視的自由度$${\theta}$$によるものである可能性がある。そのため、猫以外の部分の状態を$${|\xi, \theta \rangle_A}$$と書くことにしよう（猫自体の始状態は固定で考えている。）。すなわち、始状態$${|\xi, \theta \rangle_A}$$と猫$${|😺\rangle}$$（終状態の生きた猫とは目が異なる）で実験を始めると、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u, \theta_u(\theta) \rangle_A + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d, \theta_d(\theta) \rangle_A
$$
の状態になるとする。$${\theta_u(\theta)}$$は、$${\theta}$$の値により$${\theta_u}$$の値が決まることを示している。$${\theta_d}$$も同様である。始状態$${|\xi, \theta \rangle_A}$$の$${\theta}$$はわからないので、正しくは始状態は、
$$
\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta |\xi, \theta \rangle_A \langle \xi, \theta | \otimes |😺\rangle \langle 😺|
$$
である。終状態は、
$$
\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta (\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u, \theta_u(\theta) \rangle_A + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d, \theta_d(\theta) \rangle_A )(\frac{1}{\sqrt{2}}\langle😸| \otimes \langle u, \theta_u(\theta) | + \frac{e^{-i\theta}}{\sqrt{2}} \langle 🙀| \otimes \langle d, \theta_d(\theta) |)
$$
である。$${\theta}$$の自由度は観測できない（現在の技術では測定できない想定な）ので、$${|u, \theta \rangle_A = |u \rangle \otimes | \theta \rangle}$$などと複合系として扱えるとして、部分トレースをとることにする。$${| \theta \rangle}$$の系の正規直交基底の一つを、$${|i \rangle, i \in \mathbb{N}}$$として、$${|\theta \rangle = \sum_{i \in \mathbb{N}} \psi_i(\theta)|i \rangle}$$とすると、終状態は、
$$
\sum_{i \in \mathbb{N}} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta \langle i |(\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u \rangle \otimes \sum_{j \in \mathbb{N}} \psi_j(\theta_u(\theta))|j \rangle + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d \rangle \otimes \sum_{j \in \mathbb{N}} \psi_j(\theta_d(\theta))|j \rangle )(\frac{1}{\sqrt{2}}\langle😸| \otimes \langle u | \otimes \sum_{j \in \mathbb{N}} \psi_j^* ( \theta_u(\theta)) \langle j | + \frac{e^{-i\theta}}{\sqrt{2}} \langle 🙀| \otimes \langle d | \otimes \sum_{j \in \mathbb{N}} \psi_j^* (\theta_d(\theta) \langle j |) |i \rangle \\
= \sum_{i \in \mathbb{N}} \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta |(\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u\rangle \psi_i (\theta_u(\theta)) + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d\rangle \psi_i (\theta_d(\theta)) )(\frac{1}{\sqrt{2}}\langle😸| \otimes \langle u | \psi_i^* (\theta_u(\theta)) + \frac{e^{-i\theta}}{\sqrt{2}} \langle 🙀| \otimes \langle d | \psi_i^*( \theta_d(\theta))) \\
= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta (\frac{1}{2}\sum_{i \in \mathbb{N}}|\psi_i (\theta_u(\theta))|^2|😸\rangle \langle😸| \otimes |u\rangle \langle u | + \frac{1}{2}\sum_{i \in \mathbb{N}}|\psi_i (\theta_d(\theta))|^2|🙀\rangle \langle 🙀| \otimes |d\rangle \langle d | + \frac{e^{-i\theta}}{2} \sum_{i \in \mathbb{N}}\psi_i (\theta_u(\theta))\psi_i^*(\theta_d(\theta))|😸\rangle \langle 🙀| \otimes |u\rangle \langle d | + \frac{e^{i\theta}}{2} \sum_{i \in \mathbb{N}}\psi_i (\theta_d(\theta))\psi_i^*(\theta_u(\theta))|🙀\rangle \langle 😸 | \otimes |d\rangle \langle u | ) \\
= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta (\frac{\langle\theta_u(\theta) |\theta_u(\theta) \rangle}{2} |😸\rangle \langle😸| \otimes |u\rangle \langle u | + \frac{\langle\theta_d(\theta) |\theta_d(\theta) \rangle}{2}|🙀\rangle \langle 🙀| \otimes |d\rangle \langle d | + \frac{\langle\theta_d(\theta) |\theta_u(\theta) \rangle e^{-i\theta}}{2} |😸\rangle \langle 🙀| \otimes |u\rangle \langle d | + \frac{\langle\theta_u(\theta) |\theta_d(\theta) \rangle e^{i\theta}}{2} |🙀\rangle \langle 😸 | \otimes |d\rangle \langle u | )
$$
になる。$${\theta_u(\theta) = \theta_d(\theta) }$$である理由は特にないので、ほとんどの$${\theta}$$において$${\theta_u(\theta) \ne \theta_d(\theta) }$$であると考えて良いだろう。通常の量子力学では、$${\langle\vartheta | \theta \rangle = \delta(\vartheta - \theta)}$$であるから、ほとんどの$${\theta}$$において$${\langle\theta_u(\theta) |\theta_d(\theta) \rangle = 0}$$であり、一方で、$${\langle\theta_u(\theta) |\theta_u(\theta) \rangle = \delta(0) = \infty}$$であるから、終状態は結局、
$$
\frac{1}{2} |😸\rangle \langle😸| \otimes |u\rangle \langle u | + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle 🙀| \otimes |d\rangle \langle d |
$$
である。無限大で除しているが、それはもともとの状態が連続固有値を持つ物理量の固有状態で、そもそも無限大のノルムを持つ（本当はヒルベルト空間に含まれない）状態だからである。位置の固有状態や運動量の固有状態も同様で、量子力学では普通のことなので、ここでは深くは立ち入らないことにしたい。
上記の導出を見直すと、当初終状態が
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u, \theta_u(\theta) \rangle_A + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d, \theta_d(\theta) \rangle_A
$$
と、死んだ猫の係数に$${e^{i\theta}}$$を含めたが、そうした必要はなく、$${\theta_u \ne \theta_d }$$で
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u, \theta_u \rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d, \theta_d \rangle_A
$$
でありさえすれば、部分トレース後の状態は、
$$
\frac{1}{2} |😸\rangle \langle😸| \otimes |u\rangle \langle u | + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle 🙀| \otimes |d\rangle \langle d |
$$
である。これは、単純化して説明すると、任意の$${\vartheta}$$において、$${\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle + \frac{e^{i\vartheta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle}$$と$${\frac{1}{\sqrt{2}}|\theta_u \rangle + \frac{e^{-i\vartheta}}{\sqrt{2}}|\theta_d \rangle}$$の完全エンタングルド状態
$$
{\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}|\theta_u \rangle + \frac{e^{i\vartheta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes \frac{e^{-i\vartheta}}{\sqrt{2}}|\theta_d \rangle}
$$
は、$${e^{i\vartheta}}$$と$${e^{-i\vartheta}}$$が打ち消しあって、
$$
{\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}|\theta_u \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}|\theta_d \rangle}
$$
であるからである。もっと単純化すれば、$${|🙀\rangle \otimes | \theta_d \rangle = e^{i\vartheta}|🙀\rangle \otimes e^{-i\vartheta}| \theta_d \rangle}$$だからといっても良いだろう。
さて、こうした検討を読むと、そんなことを考えなくても、猫と猫以外の複合系の状態
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u \rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d \rangle_A
$$
において、猫以外の部分系について部分トレースとれば、
$$
\mathrm{Tr_A} (\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u \rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d \rangle_A )(\frac{1}{\sqrt{2}} \langle 😸| \otimes \langle u | + \frac{1}{\sqrt{2}} \langle 🙀| \otimes \langle d | ) \\
= \frac{1}{2}|😸\rangle \langle😸| + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle🙀|
$$
になるとお感じの方もいるかもしれない。しかし、ここで私が想定している$${|d \rangle_A}$$と$${|u \rangle_A}$$は、放射線を検出したガイガーカウンターと検出しなかったガイガーカウンターの状態である。猫の生き死にを確認している（測定している、観測している）のに、ガイガーカウンターについてはこのどちらかわからない（把握しない）状況など想定し難い。そのため、ガイガーカウンターのマクロな物理量について部分トレースを取ることは現実の状況には該当しないと思われるのである。
一方、$${| \vartheta \rangle}$$は微視的な（分子レベルの）状態であり、その状態は把握できなくて当然と考えられるものである。したがって、部分トレースをとった状態を検討の対象とするのは問題がない。というよりも、現在の技術では測定できないのであるから、「部分トレースをとる必要がある」、「部分トレースをとるのは必然である」といえよう。
こうした微視的な状態の違いは、何らか存在していると考えられる。マクロに異なっているのに、微視的な違いは何もないと想定するのは、ありえないだろうと私には思える。そうすると、生きた猫と死んだ猫の干渉を生じるような（量子的な現象が期待される）重ね合わせ状態は存在しないことになる。存在するのは、干渉生じることのない
$$
\frac{1}{2}|😸\rangle \langle😸| + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle🙀|
$$
という混合状態のみである。これが、タイトルに書いた「シュレディンガーの猫の不存在証明」の意味である。純粋状態のシュレディンガーの猫は存在しないという趣旨である（混合状態猫はシュレディンガーの猫ではないとしている。）。存在しないだろうという可能性を書いたぐらいで、前述の記載は証明には程遠いが、執筆内容の前にタイトルをスコラ哲学の「神の存在証明」もじって思いついたので（執筆内容はタイトルの後に考えたので）、内容とタイトルに若干の齟齬があるのはご容赦いただきたい。
ただし、より強い意味でシュレディンガーの猫（混合状態ではない純粋状態の猫の意味）は存在しない可能性が高いように私には思われる。そのことを以下では述べよう。
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle \otimes |u, \theta_u(\theta) \rangle_A + \frac{e^{i\theta}}{\sqrt{2}}|🙀\rangle \otimes |d, \theta_d(\theta) \rangle_A
$$
は純粋状態である。ただしそれは、$${\theta}$$の値がわかっている場合である。$${\theta}$$の値がわからなければ、$${\theta_u}$$と$${\theta_d}$$の値もわからないので、混合状態である。したがって、終状態が純粋状態であるためには始状態の$${\theta}$$がわからなければならない。
そのため、始状態の$${\theta}$$を測定できる装置$${|\chi,\eta_0 \rangle_B}$$を始状態と相互作用させることにする。そうすると、状態$${|😺\rangle \otimes |\xi, \theta \rangle_A \otimes |\chi,\eta_0 \rangle_B}$$は、状態$${|😺\rangle \otimes |\xi, \theta \rangle_A \otimes |\theta,\eta(\eta_0,\theta) \rangle_B}$$になるとする。状態$${|\theta,\eta(\eta_0,\theta) \rangle_B}$$の$${\theta}$$は直接人が見ることができる物理量であるとすると、これで$${\theta}$$の値がわかる。したがって、原理的には運動方程式を解くことによって、$${\theta_u(\theta)}$$と$${\theta_d(\theta)}$$の値がわかるだろう。
しかしほんとうにそのような実験が可能なのであろうか？ $${|\xi, \theta \rangle_A}$$と2変数で状態を記載しているものの、それはマクロな実験装置なので、それに含まれる微視的な物理量はアボガドロ数のオーダーで存在する。それらの極めて多数の物理量を$${\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_N}$$とすると、$${\theta}$$はそれらの関数$${\theta(\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_N)}$$であろう。したがって、測定装置$${|\chi,\eta_0 \rangle_B}$$が人が直接$${\theta}$$の値を認識できる実験装置だとすると、アボガドロ数オーダーの$${N}$$の回路を有する実験装置である必要があるだろう。あるいは、アボガドロ数オーダーの$${N}$$の繰り返し処理が必要になるだろう。原理的にできない理由はないとしても、実現性は疑問の方が大きいと私には感じられる。
加えて、始状態の猫もここまで量子論的に同一の（純粋状態として同一の）$${|😺\rangle}$$として議論してきたが、実際にはアボガドロ数レベルの数$${M}$$の微視的な物理量の異なる値の状態$${|😺, \zeta_1, \zeta_2, \dots , \zeta_M \rangle}$$のうちの1つ（又はそれらの重ね合わせ）の状態でありえる。これらの値も、終状態の$${\theta_u}$$、$${\theta_d}$$の値に影響を与えうる。つまり、前段の議論を含めると、結局のところ、$${\theta_u(\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_N, \zeta_1, \zeta_2, \dots , \zeta_M)}$$、$${\theta_d(\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_N, \zeta_1, \zeta_2, \dots , \zeta_M)}$$ということである。これほど複雑な値がわからないことには、シュレディンガーの猫は存在しないのである。それはもう、日常用語の感覚では（科学的でなくてよいならば）、存在しないといって良いように私には感じられる。
シュレディンガーの猫への射影
しかし、上記のシュレンディンガーの猫は存在しないだろうという説明は、シュレディンガーの猫の実験でシュレディンガーの猫の状態ができることはないということであり、シュレディンガーの猫の状態がないということではない。
$${\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle}$$をシュレディンガーの右猫と呼び、$${|😻\llap{▶︎} \rangle}$$と表記することにしよう。また、$${\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle}$$をシュレディンガーの左猫と呼び、$${|😻\llap{◀︎} \rangle}$$と表記することにしたい。
$$
\frac{1}{2}|😸\rangle \langle😸| + \frac{1}{2}|🙀\rangle \langle🙀| \\
= \frac{1}{2}( |😻\llap{▶︎}\rangle \langle 😻\llap{▶︎}| + \frac{1}{2}|😻\llap{◀︎}\rangle \langle 😻\llap{◀︎}|
$$
であるから、シュレディンガーの猫の実験で猫を観測する前の状態は、シュレディンガーの右猫を見る確率が50%、シュレディンガーの左猫を見る確率が50%である状態でもある。シュレディンガーの猫の実験後の猫を見たときに、猫の生死を確認できるのか、猫の左右を確認できるのかは、量子力学は理論的に何も教えてくれない。単に経験的に（常識的に当然に）猫の生死であることを我々は知っているだけである。なぜ猫の左右でなく、生死であるかを説明する物理理論は知られていない。
このことが、アインシュタインが量子力学を不完全な理論だと考えた本質的なところであろうと私は思う（アインシュタイン視点は逆なので表現はまったく異なっているが根は同じだろうと私は思う。）。猫の生死が実験でわかるのか、猫の左右がわかるのか説明できないのであるから、理論として不完全なのは当然であろう。
さらにいえば、生きた猫状態$${|😸\rangle}$$は、右猫と左猫の重ね合わせ状態である。すなわち、
$$
|😸\rangle \\
=\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} |😸\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}|😸\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|🙀\rangle) \\
= \frac{1}{\sqrt{2}} |😻\llap{▶︎}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |😻\llap{◀︎} \rangle
$$
である。従って、生きている猫を観測したら、シュレディンガーの右猫か左猫に射影が起こっても、理論的にはなんの問題もない。そうしたことが起こらない理由は、量子力学（量子理論）にはないのである。しかし実際には起こらないので、起こらない理由を説明できない量子力学は理論として不完全だと私には思われる。
スピンの場合
前節の「生きた猫状態$${|😸\rangle}$$は、右猫と左猫の重ね合わせ合わせ状態であり、シュレディンガーの右猫か左猫に射影が起こっても、理論的にはなんの問題もない」は奇妙に思えるかもしれないが、粒子のスピンの場合には、普通に認められていることである。
x軸方向を上下と呼び、その方向でスピンが$${\frac{1}{2}}$$と$${-\frac{1}{2}}$$の状態を$${|↑\rangle}$$と$${|↓\rangle}$$と書いて、-z軸方向を左右と呼び、その方向でスピンが$${\frac{1}{2}}$$と$${-\frac{1}{2}}$$の状態を$${|→\rangle}$$と$${|←\rangle}$$と書いて、
$$
|↑\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |→\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |←\rangle, \\
|↓\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |→\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} |←\rangle
$$
となるように軸の方向を決めると、状態$${|↑\rangle}$$の左右方向のスピンを計測することができて、半分ずつの確率で、$${|→\rangle}$$と$${|←\rangle}$$になる。これは、生きた猫状態$${|😸\rangle}$$が半分ずつの確率で、$${|😻\llap{▶︎} \rangle}$$か$${|😻\llap{◀︎} \rangle}$$になるのと全く同じである。電子などの粒子では、こうしたことはもはや疑いなく正しいと考えられている。猫も多数の粒子でできているだけで同じ物理法則を満たしているのであるから、同じことが起こりえるはずである。しかし実際には起こらないので、量子力学には何か足りないことがあるのだろうと私には思われる。
スピンの場合2
最初の節（シュレディンガーの猫の不存在証明）の内容についても、猫ではなく、電子のスピンで検討してみよう。すなわち、「『XXX（長いので省略）』を読んで」において、
分かれたビームの場所に粒子の有無を測定する装置があるとする。$${\varphi_u(x) \ne 0}$$である$${x}$$の位置のどこかに粒子が存在するか否かを測定する装置を$${|\xi\rangle_u}$$とし、粒子があれば$${|1\rangle_u}$$に、なければ$${|0\rangle_u}$$になるとする。同様に$${\varphi_d(x) \ne 0}$$である$${x}$$の位置のどこかに粒子が存在するか否かを測定する装置を$${|\xi\rangle_d}$$とし、粒子があれば$${|1\rangle_d}$$に、なければ$${|0\rangle_d}$$になるとする。
と書いたが、下記のように書き直すのが良いだろう。
分かれたビームの場所に粒子の有無を測定する装置があるとする。$${\varphi_u(x) \ne 0}$$である$${x}$$の位置のどこかに粒子が存在するか否かを測定する装置を$${|\xi, \theta_u \rangle_u}$$とし、粒子があれば$${e^{i \theta_u} |1, \theta_u^\prime \rangle_u}$$に、なければ$${|0, \theta_u^{\prime\prime} \rangle_u}$$になるとする。$${\theta_u^\prime}$$と$${\theta_u^{\prime\prime}}$$は$${\theta_u}$$の値により決定論的に定まる値である。同様に$${\varphi_d(x) \ne 0}$$である$${x}$$の位置のどこかに粒子が存在するか否かを測定する装置を$${|\xi, \theta_d \rangle_d}$$とし、粒子があれば$${e^{i \theta_d} |1, \theta_d^\prime \rangle_d}$$に、なければ$${|0, \theta_d^{\prime\prime} \rangle_d}$$になるとする。$${\theta_u}$$も$${\theta_d}$$も確率的に一様分布と考える。
一般論としては、測定後にケット内の2番目の物理量の固有状態になるとは限らず、$${e^{i \theta_u} \int d\vartheta \, \psi_{\theta_u} (\vartheta)|1, \vartheta \rangle_u}$$等になると考えるべきかもしれないが、本稿では簡単のために単に$${\psi_{\theta_u} (\vartheta) = \delta(\vartheta - \theta_u^\prime )}$$になるとか、ある汎函数$${\Theta[\psi(\cdot)]}$$があって、$${\int d\vartheta \psi_{\theta} (\vartheta)|1, \vartheta \rangle_u = |1, \Theta[\psi_{\theta}(\cdot)] \rangle_u }$$になると仮定することにしたい。
粒子の測定後の状態は、
$$
\frac{e^{i \theta_u}}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \theta_d}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d \\
= e^{i \theta_u}(\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i (\theta_d -\theta_u)}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d )
$$
であるだろう。$${\theta_u}$$も$${\theta_d}$$も確率的に一様分布なので、$${\theta_u - \theta_d}$$も確率的に一様分布であり、密度行列で書くと状態は、
$$
\frac{1}{2} |↑\rangle \langle ↑| \otimes |1\rangle_u \langle 1 | \otimes |0\rangle_d \langle 0 | + \frac{1}{2} |↓\rangle \langle ↓| \otimes |0\rangle_u \langle 0 | \otimes |1\rangle_d \langle 1 |
$$
になる。測定の前に（射影が起こる前に）純粋状態は存在せず、混合状態になっている。
スピンの射影
前述したようにスピンの測定のために磁場と検出装置と粒子を相互作用させ、粒子の存在を測定する（射影が起きる）前の状態は、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d
$$
で、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$の値が不明な状態である。不明なのであるが、仮に$${\vartheta = 0}$$であるとしよう。状態は、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{1}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d
$$
である。突然ではあるが、
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d = |▶︎ \rangle_{ud} , \\
\frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d - \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d = |◀︎ \rangle_{ud}
$$
と$${|▶︎ \rangle_{ud}}$$と$${|◀︎ \rangle_{ud}}$$を定義すると
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{1}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d \\
= \frac{1}{\sqrt{2}} |→ \rangle \otimes |▶︎ \rangle_{ud} + \frac{1}{\sqrt{2}} |← \rangle \otimes |◀︎ \rangle_{ud}
$$
である。
粒子の存在を測定する実験装置は、$${ |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d }$$の状態になる（その状態に射影が起こる）ことはあっても、$${|▶︎\rangle_{ud} }$$の状態になる（その状態に射影が起きる）ことはないので、上下の方向のスピンを測定するように装置を配置したら、上下のスピンしか測定できないが、量子力学は、そのようにしか射影が起きない理由は教えてくれない。理論的には、$${|▶︎\rangle_{ud}}$$か$${|◀︎\rangle_{ud}}$$の状態に射影が起こって、左右の向きのスピンに状態に射影がおきても良いわけである。
しかし、$${|▶︎\rangle_{ud}}$$に射影が起こったからといって、右向きのスピンの状態（左右の向きでスピンが$${\frac{1}{2}}$$の状態）になっているとは限らないことにも留意が必要であろう。
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d \\
= \frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes (\frac{1}{\sqrt{2}} |▶︎ \rangle_{ud} + \frac{1}{\sqrt{2}} |◀︎ \rangle_{ud}) + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes (\frac{1}{\sqrt{2}} |▶︎ \rangle_{ud} - \frac{1}{\sqrt{2}} |◀︎ \rangle_{ud}) \\
= \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle ) \otimes |▶︎ \rangle_{ud} + \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle - \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle ) \otimes |◀︎ \rangle_{ud}
$$
であるから、測定装置が$${|▶︎\rangle_{ud}}$$に収束したときの粒子の状態は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle}$$であり、測定装置が$${|◀︎\rangle_{ud}}$$に収束したときの粒子の状態は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle - \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle}$$である。$${\vartheta}$$の値は不明なので、装置の状態がわかったとしてもスピンの向きはわからない。繰り返しになるが、こうしたことにならない理由が量子力学の理論には含まていないのである。不完全な理論といって良いのではないかと私には思われる。
純粋状態実在論
前節で、私は、「状態は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$で、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$の値が不明」と書いた。これは、私は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$が実験結果として存在している、実験結果として実在していると考えているからである。もし、実験結果は純粋状態ではありえない（混合状態でしかない）と私が考えているなら、状態は、$${\frac{1}{2} |↑\rangle \langle ↑| \otimes |1\rangle_u \langle 1 | \otimes |0\rangle_d \langle 0 | + \frac{1}{2} |↓\rangle \langle ↓| \otimes |0\rangle_u \langle 0 | \otimes |1\rangle_d \langle 1 |}$$としか書きえないであろう。
哲学的には（物理学では気にしないと思うが）、実験結果の状態が、多数の純粋状態のうちどれか一つであると考えるか、ただ一つの決まった混合状態であると考えるかは、極めて大きな違いである。そこに存在していると考えられるもの（実験装置の状態）が違うからである。
念のためであるが、「状態は、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$を一様分布とする$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$」と、「状態は$${\frac{1}{2} |↑\rangle \langle ↑| \otimes |1\rangle_u \langle 1 | \otimes |0\rangle_d \langle 0 | + \frac{1}{2} |↓\rangle \langle ↓| \otimes |0\rangle_u \langle 0 | \otimes |1\rangle_d \langle 1 |}$$」は同じである。私が指摘しているのは、「状態は、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$を一様分布とする$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$」と「状態は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$で、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$の値が不明」は異なるということである。
「状態は、$${\frac{1}{\sqrt{2}} |↑\rangle \otimes |1\rangle_u \otimes |0\rangle_d + \frac{e^{i \vartheta}}{\sqrt{2}}|↓\rangle \otimes |0\rangle_u \otimes |1\rangle_d }$$で、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$の値が不明」いえるとする立場を、私は純粋状態実在輪と呼びたいと思う。実験で特定の純粋状態を作ることができないにも関わらず、純粋状態が実験でできる（すなわち、純粋状態が存在している）と考える立場であるからである。私がこれまで読んできた物理学者の文章から、ほとんどの物理学者は純粋状態実在論の立場であろうと思われる。
一方の、実験でできているのは$${\frac{1}{2} |↑\rangle \langle ↑| \otimes |1\rangle_u \langle 1 | \otimes |0\rangle_d \langle 0 | + \frac{1}{2} |↓\rangle \langle ↓| \otimes |0\rangle_u \langle 0 | \otimes |1\rangle_d \langle 1 |}$$でしかないという立場を、純粋状態唯記論と呼ぶことにしたい。単に純粋状態は文字として書く（記載する）ことができるだけ（存在はしない）という立場であるからである。実在論に対する立場なので、唯名論、観念論と呼びたい感じもあるが、適切でない感じも強いので、新たな用語の唯記論を使いたいと思う。シュレディンガーの猫の非存在証明というのは、唯記論の立場からの表現といえる。
前述したように、一般的な（伝統的な）量子力学は実在輪であると私は思う。一方、
どんな測定でも区別をつけることのできないこのような物理状態は量子力学では「同一の物理状態」であるとみなされる。
という考えは、突き詰めていくと、唯記論の立場になっていくと思われる。Wikipediaでは
量子状態（りょうしじょうたい、英: quantum state）とは、量子論で記述される系（量子系）に関する情報のことである。
と記載されている。状態が情報でしかないのであれば、その値がわからない$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$は情報には含まれず、純粋状態は存在しないという立場になるだろう。念のためであるが、$${\vartheta \in \mathbb{R}}$$が一様分布であるというのは、十分に情報である。
最後に〜古典論に近い強い純粋状態実在論から確率万能主義へ
古典論では、状態は位相空間の1点と考えられている。実際にどの点かはわからないが、そこにある状態は、位相空間のどこかの1点であり、どの点かわからないのは人に知識が足りないからであると考える。
これに対応する量子論の考えは、「そこにある状態は（そこに存在するのは）、純粋状態の一つであり、混合状態であると考えないといけないのは、人に知識が足りないからである」というものであろう。これを、強い実在論と私は呼ぶことにしたい。
歴史的に、量子力学は強い実在論であったように思われる（念のため、これはいわゆる波動関数が実在するという見解とはまったく異なる。）。一方で、現在では、混合状態も量子状態であり、純粋状態の方が特殊な例外的な状態という感覚も増えてきているのではないかと思われる。例えば、
純粋状態とは「他のどんな状態の確率混合としても表されないような状態のこと」として定義されます。
などの記載は、古い感覚では、主従が逆転している感じがする。
しかし、「どんな測定でも区別をつけることのできない状態を『同一の物理状態』であるとみなす」考えには、私には大きな疑問も感じられる。状態$${|↑\rangle}$$と状態$${|↓\rangle}$$の確率50%混合状態を作る実験を行うことはできるだろう。また、状態$${|→\rangle}$$と状態$${|←\rangle}$$の確率50%混合状態を作る実験も行うことができるだろう。「どんな測定でも区別をつけることのできない状態を『同一の物理状態』であるとみなす」考えによれば、この2種類の実験で作成される状態は同じ状態である。これは、直感に反する。量子力学は、多数の直感に反する結論をもたらすので、直感に反するからといって誤っているとは限らないが、「どんな測定でも区別をつけることのできない状態を『同一の物理状態』であるとみなす」考えは、素朴に
我々がある2状態が異なると言うのは、何かしらの実験で異なる結果を与える時である。逆に言えば、どんな可能な実験をしても同一の結果が得られる時に、それらの状態は同じであるとしたい。
という考えから来ている可能性がある。どんな可能な実験をしても同一の結果が得られるとしても、その状態の作りかたから、異なる状態であると考えられる場合もあるということが考慮から漏れている可能性があるように思われる。$${\frac{1}{2}|↑\rangle \langle ↑| + \frac{1}{2}|↓\rangle \langle ↓| = \frac{1}{2}|→\rangle \langle →| + \frac{1}{2}|←\rangle \langle ←| }$$というのは、$${|↑\rangle}$$も$${|↓\rangle}$$も、$${|→\rangle}$$か$${|←\rangle}$$に射影を起こす実験を行うことができるということからきている。同じ状態に射影を起こさせられるからといって（確率分布も同じだとしても）、元の状態が同じといって良いかは、疑問である。確率分布が全てであるという考えは、確率万能主義と呼びたくなる感じもある。
まとめると、量子力学には（これまで論と呼んでいたものを主義に変えると）、確率万能主義、唯記主義、穏やかな純粋状態実在主義、強い純粋状態実在主義などの立場があるように思われる。哲学と異なり幸せなことは、それらの異なる立場の者の間に意見の対立がないことである。