１つの母平均に関する検定・推定（母分散未知）【超詳細解説】

実際の問題を解きながら解説します。

例題
ある加工機で生産される部品の真円度は母平均$${21.1{\mu}m}$$で安定している。ある日、加工機の主軸を交換したので、精度確認のため$${n=10}$$のデータを取ってみると次のようになった。母平均は変化したと言えるか、有意水準5%で検定しなさい。
$${20.1,21.3,19.7,20.0,20.4,20.0,19.2,21.0,22.4,19.4}$$
（ばらつきは主軸の交換前後で変化しないものとします）

母分散既知の問題との大きな違いは、その名の通り母分散が分かっているか、分かってないか、です。
この問題は、母平均は問題で与えられて言いますが、母分散は与えられていませんから、「母分散未知」の問題です。

母平均が変化したかどうかを知りたいので、先ずは10個のデータの平均値を求めましょう。

$$
\begin{array}{rcl}
平均値\ \={x}&=&\cfrac{20.1+21.3+19.7+20.0+20.4+20.0+19.2+21.0+22.4+19.4}{10}\\\\
&=&20.35
\end{array}
$$

ここで一旦仮説の設定をします。
主軸変更前の母平均を$${\mu_0\ (=21.1)}$$、主軸変更後の母平均を$${\mu}$$とします。

帰無仮説 $${H_0:\mu=\mu_0}$$
対立仮説 $${H_1:\mu\ne\mu_0}$$

さて、問題は母分散です。母分散が分からなければ問題は解きようがありません。
しかし、今回は貴重な$${n=10}$$のデータがあります。
ばらつき（分散）は主軸の変更前後で変化しませんから、得られた$${n=10}$$のデータから分散を計算して、母分散の代わりに使っちゃおうぜ！ってことです。
では分散を計算しましょう。

まず、偏差平方和を求めます。各々のデータと平均値19.35との差を求めて、差の2乗の合計を求めてもいいんですが、計算が多くてスーパーメンドクサイ。
こんなときは公式を使うと便利です。