PRML 第1章 1.4(標準)

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$$
\begin{array}{ll}
(1.27) & p_y(y) = p_x(x)\left| \dfrac{dx}{dy} \right| = p_x(g(y))~|g'(y)|
\end{array}
$$

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解答

　(1.27)を$${y}$$で微分すると，

$$
\begin{array}{ll}
\dfrac{d p_y(y)}{dy} &= \dfrac{d p_x(x)}{dx} \dfrac{dx}{dy}~|g'(y)| + p_x(g(y)) \dfrac{d}{dy}|g'(y)|\\[1em]
&= \dfrac{d p_x(x)}{dx} g'(y)~|g'(y)| + p_x(g(y)) \dfrac{d}{dy}|g'(y)|
\end{array}
$$

ここで，$${y = y_0}$$のときに$${x}$$に関する密度が最大になるとする．つまり，$${\widehat{x} = g(y_0)}$$とすると，$${\left.\dfrac{d p_x(x)}{dx}\right|_{x = \widehat{x}} = 0}$$であるから，

$$
\begin{array}{ll}
\left.\dfrac{d p_y(y)}{dy}\right|_{y = y_0} &= \left.\dfrac{d p_x(x)}{dx}\right|_{x = \widehat{x}} g'(y_0)~|g'(y_0)| + p_x(g(y_0)) \left(\dfrac{d}{dy}|g'(y)|\right)_{y=y_0}\\[1em]
&= p_x(g(y_0)) \left(\dfrac{d}{dy}|g'(y)|\right)_{y=y_0}\\[1em]
&\hspace{70mm}\cdots\cdots\textcircled{1}
\end{array}
$$

となるが，$${g}$$が非線形変換の場合，これは0とは限らない．したがって，一般には$${\widehat{y} \neq y_0}$$であり，($${g}$$が単射であるならば)

$$
g(\widehat{y}) \neq g(y_0) = \widehat{x}
$$

となる．

　一方，$${g}$$が線形変換の場合は$${\dfrac{d}{dy}|g'(y)| = 0}$$(左辺は$${g}$$の2階微分)であるから，$${\textcircled{1}}$$式は0となる．したがって，$${y_0 = \widehat{y}}$$となり，

$$
g(\widehat{y}) = g(y_0) = \widehat{x}
$$

が成り立つ．