PRML 第1章 1.14(標準)

解答

　$${w_{ij}^{\mathrm{S}}}$$，$${w_{ij}^{\mathrm{A}}}$$はそれぞれ

$$
\begin{array}{l}
& w_{ij}^{\mathrm{S}} = \dfrac12 (w_{ij} + w_{ji}),\\[1em]
& w_{ij}^{\mathrm{A}} = \dfrac12 (w_{ij} - w_{ji})
\end{array}
$$

と表せるので，任意の正方行列は$${w_{ij} = w_{ij}^{\mathrm{S}} + w_{ij}^{\mathrm{A}}}$$という形に書ける．

　また，$${w_{ij}^{\mathrm{A}} = -w_{ji}^{\mathrm{A}}}$$より，$${w_{ii}^{\mathrm{A}} = 0}$$となることに注意すると，

$$
\begin{array}{lll}
&& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij} x_i x_j\\[1em]
&=& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{S}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{A}} x_i x_j\\[1em]
&=& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{S}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i=1}^D} w_{ii}^{\mathrm{A}} x_i^2 + {\displaystyle \sum_{i<j}} w_{ij}^{\mathrm{A}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i>j}} w_{ij}^{\mathrm{A}} x_i x_j\\[1em]
&=& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{S}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i<j}} w_{ij}^{\mathrm{A}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i>j}} w_{ij}^{\mathrm{A}} x_i x_j\\[1em]
&=& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{S}} x_i x_j + {\displaystyle \sum_{i<j}} (w_{ij}^{\mathrm{A}} + w_{ji}^{\mathrm{A}}) x_i x_j\\[1em]
&=& {\displaystyle \sum_{i=1}^D \sum_{j=1}^D} w_{ij}^{\mathrm{S}} x_i x_j
\end{array}
$$

となり，反対称行列の寄与が消える．したがって，行列$${w_{ij}^{\mathrm{S}}}$$の独立パラメータの数は，$${i \leq j}$$となる成分の数

$$
\begin{array}{l}
n(D,2) = {\displaystyle \sum_{k=1}^D} k = \dfrac12 D(D+1)
\end{array}
$$

である．