Piece CHECK(2024-51) 2024年良問BEST15(4位) 接線の本数、接点条件など
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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は2024年良問BESTシリーズの第４位の問題です。
名古屋大学から、微分法(数III)絡みの融合問題です。
思考時間は約10分弱、目標解答時間はそこから約15分です。
解説・原則など
こちらも参照してください。(第１問です)
比較的簡単なグラフを題材に、極値、接線の本数、接点の条件などを聞いてきます。なお、理系範囲の問題ですが、数IIIが必要なのは(1)だけです。
分野的には2次関数も絡み、さらに整数も絡む融合問題です。適度な難易度で良問だと思いますが、今年の名大理系のセットなら完答したい。
（１）は微分して極値を求めるだけ。最小値だけなら相加相乗でも確認できます。
（２）は接線の本数ですから、こちらの原則です。
接線の本数は接点をおいて解の個数へ帰着
整理して分母を払えば2次方程式になります。これが異なる2つの正の解を持てばいいと考えれば2次関数の解の存在範囲になります。
2次関数でもいいし、複素数の単元の原則でもOK。
解の存在範囲：2解とも範囲指定 → D,軸、端点を調べる
解の存在範囲(解と係数の関係利用)：→D,解の和、解の積の符号
定数$${t}$$が入っているのが1次までなので、グラフで視覚化でもいいですね。
文字定数入りの方程式の解の個数は定数分離で視覚化
理系なので$${t=\cdots }$$として完全に定数分離することも可能。その場合は数IIIの知識が必要ですが、(3)の聞き方からしても2次方程式に帰着させることを想定していると思います。
(3)は(2)で作った方程式の解がともに整数である場合です。こちらも原則習得パターンの問題ですね。
2次方程式が整数解→解と係数の関係で定数消去して整数解問題へ
定数ｔを消去すると、例のムリヤリ因数分解するパターンになります。
整数解その１：ムリヤリ (x-●)(y-▲)=■ を作れ
かけて16になるものは少し多めですが、候補を絞る典型3パターンも使えます。
約数の候補を絞る典型3パターン [1]正負 [2] 大小 [3] 偶奇
1つ1つは基本的な操作しか必要としないものですが、うまく多くの分野を融合した良問ですね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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