PieceCHECK(2023-84) 2023年 関西大学 微積分総合(数Ⅲ)
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。
【お知らせ】数III「積分法(グラフ編)」リリース！(23/12/13)
ほぼ全分野の執筆が完了しました。本シリーズで体系的に高校数学を学べます！！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は、2023年の関西大学(理系)から、数Ⅲの微積分総合問題です。
思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。初見ならじっくり考えてみましょう。
解説・原則など
詳しくはこちらの記事をご覧ください。
(画像が読み込まれない現象あり。余白が異常に空いていたらクリックしてみてください)
標準的な数Ⅲの微積総合問題です。
(1)から思いつきにくいかもですが、最初なのでさすがにそんなに難しくないはず、と思えば気づけると思います。最小値は真数が最小になるときでOK。
(2)は微分して増減表を調べてもいいですが、文系の範囲でも解けます。
1つは、単位円との共有点条件とみなす原則を用いる方法。
三角関数の分数式は単位円との共有点条件を考える
円と直線の共有点条件に帰着されますので、$${d}$$と$${r}$$の関係で出せます。
もう一つは、$${\tan \frac{x}{2}=t}$$という置き換えを利用する方法。
三角関数の分数式→$${\bm{\tan \frac{x}{2}=t}}$$ とおく方法も
これにより、2次／2次の形になります。帯分数表記にし、1次／2次が見えると、さらにこちらの原則と組み合わせることが出来ます。
2次式／1次式 とその逆数は相加・相乗が使えるパターン
1次式が単純な場合でないと計算が少し繁雑になるので、今回は単位円との共有点条件の方がラクそうですね。
(3)は、まず形を見て区分求積だと見抜きたい。区分求積だと見抜けたら、その手順に沿うように変形をします。
区分求積法の式変形 [1]シグマの外に$${\bm{\frac{1}{n}}}$$を [2]Σの中で$${\bm{\frac{k}{n}}}$$を
これが分かると、$${\displaystyle \int_{0}^{1}\alpha f(\alpha x)F(\alpha x) dx}$$まで式変形できます。あとは、$${F'(\alpha x)=f(\alpha x)・(\alpha x)'=\alpha f(\alpha x)}$$が見抜ければ第２置換積分の要領で一気に積分可能です。計算自体はそこまでしんどくないと思います。
最後は少し発想も必要でしたね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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