Piece CHECK(2024-74) 条件を満たす整数の組を求める
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【24年10月最新巻】理系数学必須の積分練習帳『∫calc.』販売開始！！
こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。少し古い入試問題ですが、東京大学(文系)から、整数問題です。
思考時間は約15分、目標解答時間はそこから約20分です。
解説・原則など
整数問題ということで、動画のサムネを見て手をつけてくれた人も多いと思いますが、文字ばかりで意外と最初から方針に詰まった人が多いのではないでしょうか。
動画で説明した通り、まずはイロイロ実験してみます。そして以下のことに気づけるかどうかです。
$${n}$$があまり大きくないのではないか
不等式②についてはほぼ$${n}$$でないダメで、しかも$${a}$$に偏っていないと①を満たさない可能性が高い
ここから、①と②をうまく使って評価していこうという発想に至ります。②を2乗したものと①を比べれば、
$${ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqq 3}$$
となります。0以上の整数を2個かけてこれだけ足して3以下なわけです。一番小さい$${d=0}$$は確定ですね。
条件を書き直して、さらに③も用いると、$${bc\leqq 1}$$が出ます。このように、すべて同じ項に置き換えて評価する方法は、文字が多いときにはよくやる手法です。
方程式の整数解(3文字タイプ) → 大小評価によって候補を絞る
あとはしらみつぶし。進めていくと$${n^2-a^2=6,7,8}$$の場合の整数解を超することになりますが、こちらも整数解問題の原則を複数適用することで簡単に絞れます。
方程式の整数解 → なによりもまず因数分解して積の形にして候補を絞る
候補を絞る典型3パターン [1]正負 [2] 大小 [3]奇偶
特に後半の原則は数値がもっと大きく、積の形がたくさんあるときにかなり有効です。
これで$${(n,a,b,c,d)}$$の組み合わせがすべて求まります。やはり、②は等号が成り立つ場合しか解になっていませんね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
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