Piece CHECK(2024-82) 3次関数の最大最小

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。1991年の東京大学(文系)から、3次関数の最大最小の問題です。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

一見、ワークにもありそうなただの3次関数の問題に見えますが、東大が出している問題です。そこまで甘くはないです。

3次以上の(高次の)関数の最大・最小なので、微分して増減表を書くのは変わりません。

増減表を書くうえで1つ目の関門は、極値を取る$${x}$$の値がキタナイこと。この場合の極値は直接代入すると計算ミスを起こしやすいため、割り算して求めるとラクです。

極値になる$${\bm{x}}$$が汚いなら文字で →割り算で次数下げ

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.68

これで極大値と極小値を求めます。片方を求めれば、もう片方は$${\sqrt{13}}$$を含む項の符号を変えるだけです。

増減表が完成したら、極値及び端点の値の中で最大・最小を探します。ここで第2関門。最大値も最小値も結構際どい勝負になることが分かります。

$$\sqrt{13}$$を自分で評価しなければいけないわけですね。特に最小値の方はかなり際どいので、あまり大雑把な評価だとうまくいきません。

どちらが小さくなるかなどの予想もつかないため、上から評価するのか下から評価するのかも分からず、意外と時間がかかるでしょう。

別解は、$${y}$$の値ではなく$${x}$$の値で評価するというものです。極大値、極小値と同じ値を取る$${x}$$の値が、両端の値と比べて大きいか小さいかを比べるというものです。

$${f(x)=極大値}$$ は、定数項がキタナイので計算出来なさそうに見えますが、グラフで考えると、$${y=f(x)}$$と、その極大点で接する接線と考えます。すると、接点以外の交点が分かればいいわけです。解と係数の関係でサボれますね。

3次関数のグラフの接線の接点以外の交点 → 解と係数の関係でサボれる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.60

あとは、その交点と定義域の端っこの大小を比べれば、どちらの方が大きいかが分かるという流れです。最小値は$${y}$$座標でも際どいので、$${x}$$座標はもっと際どくなることに注意。

どちらにしても厳しい評価が必要となります。

問題としてはただの3次関数の最大最小ですが、さすが東大という感じの問題でしたね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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