PieceCHECK(2024-24) 約数の個数から整数を決定する

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1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則 (Principle)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は2024年の立命館大学(文系)から、約数の個数から整数を決定する問題です。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。

解説・原則など

根号絡みの式が整数になり、その約数の個数から整数を決定する問題です。

まず根号が外せる条件から。年号の素因数分解は必須です。
2024=2・2・2・11・23　となります。

今年の受験生は2025ですが、2025=45×45として覚えておくといいでしょう。

$${n}$$が整数になるには、根号内の素因数がすべて偶数個ある必要があるので、$${k}$$は2,11,23は最低1個必要で、$${k=2^2・11・23・k'^2}$$と出来ます。そしてこのとき、$${n=2^2・11・23・k'}$$となります。

次に、「約数の個数20個」を処理します。約数の個数も整数と同様に、分解するのが原則でしたね。

約数の個数から整数決定 → 個数をかけ算の形に

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.65

約数の個数の公式が、$${(a+1)(b+1)\cdots}$$のような積の形で表されますので、「20がどのような積の形で表されるかを調べる」という発想から来てます。
今回は2,3,11と最低3つ以上の素因数から成るため、20を3つ以上の積の形で表します。すると$${2・2・5}$$しかないですね。さらに2の素因数の個数から$${n=2^4・11・23}$$と決まります。

$${n}$$が決まれば$${k}$$も決まりますね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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