PieceCHECK(2023-85) 2001年 京都大学など 整数問題

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【お知らせ】数III「積分法(グラフ編)」リリース！(23/12/13)

ほぼ全分野の執筆が完了しました。単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。
そして、学習後の到達レベルは難関大入試合格最低点レベルです！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2つの大学から、整数問題です。

思考時間は約10分弱、目標解答時間はそこから約10分強です。初見ならじっくり考えてみましょう。

解説・原則など

今回は2つの大学が出題した整数問題です。
(1)は2001年に京大が単体で出題しました。

また、2023年に富山大が(1)と(2)を出題しています。(原題はさらに前に誘導あり)

(1)は単体で出題された場合は、いろいろ解法が考えられます。
最初の解法の方針は余りによる分類。「●の倍数の証明」余りで分類という原則に従います。

●の倍数であることの証明方針１→●で割った余りで分類する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.20参照

素直に従うなら9で割った余りですが、ちょっと場合分けが多いですね。展開項の係数に３が多く出てくることに着目すると、3で割った余りですんなり行けることが分かります。

別解１の方針は因数分解です。解法１と合わせて、２大原則ですね。

●の倍数であることの証明方針２→多項式ならまず因数分解から

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.23参照

与式は$${n^3(n^3+1)(n^3-1)}$$と因数分解されます。まだ因数分解出来ますが、あえてここで止めておくと実はラクに出来ます。$${n^3}$$の項しかないので、これを9で割った余りに着目すればいいわけです。
あとは最初と同じで、3で割った余りで充分ですね。

解法３は、富山大の原題を意識したもの。$${n^3-n}$$が3で割れることを利用し、$${n^3-n}$$が見えるように$${n^9-n^3}$$を

$${\bm{n^9-n^3=(n^3-n)^3+3n^3・n(n^3-n)}}$$

のように式変形する方法です。前者は27の倍数、後者も9の倍数ですね。

(2)は富山大だけの出題ですが、最後の解消３を想定しないと厳しいでしょう。自然数ｍ絡みであることからも、帰納法です。

帰納法は以下のようなときに有効
[1] 自然数に関する証明　[2] 結果が分かる or 推測できる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.66

解法３の式変形をそのまま真似すればOKです。指数に指数が入るのでちょっとこんがらがりますが＾＾；

動画では紹介していませんが、(2)の別解もこちらの画像では紹介していますので、見てみてください。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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解答

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