Piece CHECK(2024-58) 二項係数絡みの和

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。早稲田大学(人間科学部)から、二項係数絡みの和の問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約10分です。

解説・原則など

今回はレベル高めのパターン問題という感じでしたので、経験があると方針はすぐに立ちますが、初見だと厳しめかもです。

二項係数絡みの和は、基本的には二項定理を活用します。

二項係数の和は二項定理と結びつけよ

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』p.11

ただし、今回は二項係数以外にも、シグマの中に$${k}$$が入っています。この$${k}$$を解消する方法(原則)を知っているかどうかで、本問は出来が分かれたでしょう。

係数付き二項係数の和の計算方法 [1]$${r・_n\mathrm{C}_r=n・_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}}$$ の利用　[2] $${(1+x)^n}$$ の二項展開式の両辺を微分 or 積分

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』p.51

[1]の方法が前半の解法、[2]の方法が後半の解法になります。どちらも、初見では思いつきにくいものです。

[1]は、係数の$${k}$$が$${n}$$に変わるため、シグマの外に出せることがポイント。[2]は、特に(1)の場合は2回微分すると、展開式の係数に$${k(k-1)}$$が出てきます。(2)は積分すれば、$${\frac{1}{k+1}}$$が分母に出てきますね。

早慶などの私大では、レベル高めのパターンの経験の有無で大きく出来が分かれるものが出やすいです。本問などは典型例でしょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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