PieceCHECK(2023-74) 2020年 上智大(文系) 2次方程式と整数解
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【お知らせ】数III「積分法(数式編)」リリース！(23/11/13)
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は、2020年の上智大から、2次方程式が整数解を持つ条件です。
思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約5分です。
解説・原則など
今回は厚物参考書にも載っているような超定番の融合問題です。それでも、今回のように、難関私立大でも出ます。原則習得がいかに大事かが実感できますね。
本問で掲載されている定番の解法はこちらの原則に従うものです。
2次方程式の解が整数→解と係数の関係で整数解問題へ
解を設定して定数ｍを消去することで、ムリヤリ因数分解型の方程式に持っていけます。
方程式の整数解その１：$${\bm{(x-●)(y-▲)=■}}$$にムリヤリ変形する
候補が多いときの絞り方、典型3パターンも要確認。
約数の候補を絞るには [1] 正負 [2] 大小 [3] 偶奇
解法２は、ｍが1次式なのでｍについて解くというものです。すると分数式になりますので、こちらの原則に従います。
分数式は帯分数表記にする
結局、$$x-3$$が10の約数であればよいと分かります。
解法３は、直接2次方程式の解から考えるというものです。因数分解は出来ませんが、その場合は実数解条件から絞れるかも、と考えます。
方程式の整数解その６：因数分解出来ないなら実数条件から絞る
今回は実数解条件から絞ることは難しいですが、それでも収穫はあります。根号内が平方数である必要があることから、あたらしい方程式の整数解問題になります。平方完成することで、やはり因数分解型に出来ます。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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