PieceCHECK(2023-53) 複素数平面と三角関数(2003年京大後期)

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。夏休み中の企画「2023年良問BEST15」が終わりましたので、今回から通常通りの入試問題の解説に戻ります。

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2003年の京都大学後期の問題から、複素数平面と三角関数に関する問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約10分です。

解答方針・原則など

2003年は文系も複素数平面は範囲でしたので、本問は文系の出題です。(1)の誘導により、かなり解きやすくなっています。

（１）は等差×等比の形をしていますので、S－公比Sを考える原則に従います。数列の和の求め方をおさらいしておきましょう。

等差×等比の和は　S－公比Sで

詳細(和の求め方のまとめ)は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.26参照

(2)は(1)を利用すればいい事はすぐに分かると思います。

$${z=\cos 40^\circ +i\sin 40^\circ}$$

とおくと、$${z^9=1}$$ですから、$${n=9}$$として(1)にあてはめられます。その等式の両辺の虚部を比べればいいわけです。
左辺は問題ないでしょう。あとは右辺です。$${1-z}$$のような形を見たときには、こちらの原則に従います。

$${\bm{1\pm z}}$$は倍角の公式で極形式に

詳細は『Principle Piece 数学B・C～複素数平面～』p.55参照

実部の・虚部ともに、40°を20°の2倍とみなして倍角の公式を適用すると、うまく極形式に似た形が現れます。今回は極形式にする必要はないので、あとは共役複素数をかけて虚部が分かるようにするだけです。

証明すべき等式から、40°を20°の2倍とみなせるかどうかが分かれ目でしたが、原則を知っていれば最後までスラスラいけるでしょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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解答

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