Piece CHECK(2024-77) 2円に内接・外接する円の中心の軌跡

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【24年10月最新巻】理系数学必須の積分練習帳『∫calc.』販売開始！！

こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。かなり古いですが、2023年の筑波大学(理工・推薦)から、条件を満たす円の中心の軌跡などを求める問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

今回は理系範囲の問題です。条件を満たす円の中心の軌跡ですが、(1)(2)ともに式は同じで、双曲線になります。

数式処理で行うことも出来ますが、双曲線の定義に従った答案にすればかなりラクに解答することが出来ます。

拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～式と曲線～』でも、ほぼ同じ問題を同じやり方で解く方法を載せています。(数式処理する方法も載せています)

「軌跡を求めよ」ですから、言葉で書いても問題ないです。その点でも、定義に従った解答は今回はおススメ。

(1)はPAの方が長いので双曲線の右側、(2)はPBの方が長いので双曲線の左側となります。

(3)は双曲線の式が必要です。こちらも、とある知識があることで、距離PBを計算しようと思えます。それは

2次曲線上の点と焦点との距離は、文字式でも根号が外れる

ということです。もちろんこちらも、拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～式と曲線～』で、詳しく紐解いています。(応用の節です)

これにより、PBを具体的に$${s}$$の1次式で表すことができて、接点の$${x}$$座標は内分点として$${s}$$だけの式で表せます。

あとは微分して増減を調べるか、分数式なので帯分数表記の原則に従って変形すれば単調増加と分かるので、それで求めるかですね。

分数式は帯分数表記に

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』p.18参照

微積分等に押されて、2次曲線の分野はどうしても演習量が少なくなりがちです。(1)(2)でも十分差がつきそうな問題だと思います。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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