PieceCHECK(2023-40) 2023年良問BEST15(13位) 対数関数+3次関数

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夏休み期間中は2023年良問BEST15と題して、2023年に出題された入試問題のうち、解く価値のある良問と思ったものをランキング形式で紹介していきます。

お知らせ

拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～式と曲線～』
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今回の問題

YouTube動画をUPしました。2023年良問BEST15の第13位は大阪大学文系で出題された対数関数＋3次関数の問題です。

思考時間は10分、目標解答時間はそこから約15分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

対数関数と微分の絡んだ融合問題で、微分法は3次関数の最大値の場合分けタイプです。2次関数の軸分けよりもはるかに難易度が高く、確実に差の出る1題ですが、原則さえ押さえておけば余裕のタイプでもあるので、サービス問題にもなります。

(1)はいいでしょう。置き換えも指定されています。対数絡みの方程式・不等式・関数は、まず底を統一です。

対数式の変形は「底の統一」が最優先

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学II～指数関数・対数関数～』p.24

$${\log_{ }×\log_{ }}$$のような対数どうしのかけ算・割り算がある場合は、誘導にあるように対数を置き換えます。

対数項のかけ算・割り算型は$${\bm{\log_{ }}}$$を置き換える

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学II～指数関数・対数関数～』p.32

(2)はｔについての3次関数とみなして最大値を求める問題です。もちろん微分しますが、極大値を取る位置の他に、極大値と同じ値を取る位置と定義域を比べなければいけません。これが2次関数よりも難しい部分です。

特に後者は、経験がないと苦戦します。3次関数の極値付近は対称性の高い形をしています。それを知っていれば簡単に出せます。

3次曲線の極値付近の特徴をおさえよ

図は割愛。詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学II～微分法～』p.74

3次関数の場合分け問題をパターン問題に格下げさせる強力な原則ですので、ぜひ覚えておきましょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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