PieceCHECK(2023-32) 定数入り2次関数の最大値・最小値

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は2023年東北大学文系の問題で、定数入り2次関数の最大・最小に関する問題です。

思考時間は5分、目標解答時間はそこから約20分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

2次関数の最大・最小の軸分けに関する問題です。出題は東北大学文系ですが、旧7帝大クラスでもこのような問題が出題されます。落とせないのはもちろんですが、いかにスラスラと答えて時間的に貯金を作れるかです。

定数入り2次関数の最大・最小については、軸と定義域の位置関係で場合分けをするのが原則です。

軸が「入る」か「右ずれ」か「左ずれ」か　or 定義域の中央より「右」か「左」か

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～2次関数～』p.31

今回は最大値が後者、最小値が前者です。慎重に場合分けするだけ。場合分けの境目の値で検算すると安心ですね。

(2)も$${m(a)}$$がきちんと出せていれば、グラフを書いて最小値を求めればOK。

$$M(a),m(a)$$を両方だし、さらに$$m(a)$$の最小値まで聞かれています。全体の流れを考えると、候補の考え方で解く方法も有効です。

定義域に制限のある関数の最大・最小→両端もしくは極値が場所の候補

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～2次関数～』p.91

最大値は$${f(a)}$$か$${f(a+3)}$$のうち大きいほう、最小値は軸も入るので$${f(-a)}$$もいれて最も小さいところです。ただし、$${\bm{f(-a)}}$$が採用できるのは軸が定義域内にあるときだけなので注意しましょう。そうでないと、当たり前ですが常に$${f(-a)}$$が最小になります。

これらを求めてグラフを書くだけで、(1)～(3)すべてに答えられますね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

場合分けの問題、候補の考え方で解く問題ともに複数題収録しています＾＾

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