Piece CHECK(2024-44) 2024年良問BEST15(11位) 四面体の体積
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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は2024年良問BESTシリーズの第11位の問題です。
京都大学(文系)から、四面体の体積を求める問題です。
思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約10分です。
解説・原則など
こちらも参照してください。(第１問です)
四面体の面積を求める問題ですが、初っ端から差がつく問題だと思います。
先に思いつくのはベクトルだと思います。空間ベクトルですから、基本6量の設定です。
空間ベクトル(内積絡み)では「基本6量」の設定
しかし、意外とこれでやると複雑で、詰まった人もいるかもしれません。(答案画像では解法３)
今回はOA=OB=1、と∠AOB=90°であることを利用して、座標空間に直接置くのが良かったと思います。私も解いたときはこの解法を取りました。
O,A,Bの座標は簡単におけるので、あとはC(x,y,z)とおき、残りの条件をx,y,zに関する式にしていくだけです。結果としてｚは2重根号で残ります。途中で係数が複雑になるのはそういう理由ですね。
2つ目の解法は、相似な三角形に着目して、6辺の長さをすべて先に特定することです。これに気づくと結構ラクかも。
また、等稜四面体なので、高さの計算はこちらの原則に従うだけです。
等稜四面体は垂線の足が外心になることを利用
途中で$${\sqrt[4]{2}}$$ なども出てくるので計算は繁雑ですが、それを除けば、ほぼ中学数学の知識だけで解くことが出来ますね。
使う知識はごくごく基本的なのに、大学入試として十分機能させる難易度設定であること、京大らしさを感じますね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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