PieceCHECK(2023-92) 2004年 東京大学 領域と最大・最小

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【お知らせ】数III「積分法(グラフ編)」リリース！(23/12/13)

ほぼ全分野の執筆が完了しました。単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。
そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2004年の東京大学から、領域と最大・最小の問題です。

https://youtu.be/yrHtSrdaDGA

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約20分です。

解説・原則など

領域と最大・最小の問題で、放物線に定数$${a}$$が入っているタイプです。

まずは原則をおさらいしておきましょう。今回は問題文にも書いてありますが、不等式条件下での最大・最小は領域図示が原則。

不等式条件は領域図示

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～図形と方程式～』p.64

そして、求めたい式も$${=k}$$とでもおいて、こちらもグラフに載せて視覚化します。

$${=k}$$とおいて視覚化し、領域との共有点条件へ

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～図形と方程式～』p.65

今回は境界線に曲線が入っているので、最大と最小の候補が交点(頂点)だけではなくなります。

境界に曲線があるなら → 頂点 or 接点が候補

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～図形と方程式～』p.64

今回は、$${a}$$の値によって、この頂点か接点かが変わりますので、場合分けが必要なわけです。それが本問を難しくしています。その時の場合分けの境目は、両者がかぶるとき。すなわち、頂点が接点にもなるときです。

これをおさえておくと、場合分けの境目が分かります。場合分けにおいて最も大切なことは、境目が分かることです。これが分かれば、あとは落ち着いて極端な例を書いてみれば(aがめっちゃ小さい場合か、めっちゃ大きい場合とか)、どっちのときに最小になるかは、ある程度グラフで分かります。詳細は動画か下の画像でご覧ください。

検算として、境目の値で一致することを確認しておくと安心できるでしょう。緊張する本番でこそ、検算による確認は大きな精神安定剤になります。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

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解答

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