PieceCHECK(2023-75) 2023年 東京大(文系) 2次方程式の解の対称式
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【お知らせ】数III「積分法(数式編)」リリース！(23/11/13)
今回の問題
YouTube動画をUPしました。今回は、2023年の東京大から、2次方程式の解の式の最小値を求める問題です。
思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。
解説・原則など
東大で出題されたがために格下扱いされた感がありますが、本問は十分良問で、他大で出れば差がつく問題でしょう。4分野にわたる5つの原則も確認でき、演習価値も高いです。
最初の解法については、こちらをご覧ください。
(※PCだと画像見えない現象あり。スマホ推奨)
解の対称式といえば解と係数の関係ですね。
解と係数の関係の利用で基本対称式を準備
あとは通分して慎重に計算するだけです。出来た式は分母が1次式、分子が2次式なので相加・相乗の出番ですね。
相加平均・相乗平均が使えるパターンは2次式／1次式のとき
分数式は帯分数表記という超根本の原則も忘れずに。
分数式は「帯分数表記」にせよ
部分的別解として、$${\alpha ^4+\beta ^4}$$など高次の対称式を漸化式的に出す方法です。さらに次数が上がった場合は有効なのでおさえておきましょう。
次数の高い対称式は漸化式利用で数列的に
Pの式が出た後の最小値の求め方にも別解があります。
定数Pの入ったｋについての2次方程式の実数解条件に持ち込むというものです。少なくとも1つがk>2範囲にあればOK。「少なくとも」系はメンドウですが、このようなときは定数分離して視覚化を考えてみるんでしたね。
少なくとも1つの実数解タイプ→定数分離して視覚化も
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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