PieceCHECK(2023-24) 知らないとキツイ不等式の証明

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は大分大学(医学部)からで、とある有名な不等式の証明問題です。

思考時間は10分、目標解答時間はそこから約5分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

有名な不等式、コーシー・シュワルツの不等式の証明問題です。

$${n=2,3}$$のときの不等式
$${(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq (ax+by)^2}$$
$${(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq (ax+by+cz)^2}$$

は多くの参考書に乗っており、具体的に差をったり、ベクトルの内積との関係とみなしたりと、ラクに証明できる方法が複数あります。

一般の$${n}$$では今回のような証明方法があり、これは思いつくものではないので、知らないとほぼアウトでしょう。帰納法での証明もあり得ますが、やはり思いつくのは厳しいと思います。

単科医科大や医学部専用問題、あるいは難関私大ではこのような知識の有無でall or nothing なる問題は出やすいです。該当する大学を志望する受験生はぜひ今回の証明方法を頭に入れましょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

↑$${n=2,3}$$のときの不等式の証明も複数の方法で収録してあります＾＾

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