Piece CHECK(2024-76) 正方形に格子点を含むことの証明
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。
【24年10月最新巻】理系数学必須の積分練習帳『∫calc.』販売開始！！
こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。かなり古いですが、1971年の京都大学(理系)から、正方形の周および内部に格子点を含むことを証明する問題です。
思考時間は約15分、目標解答時間はそこから約20分です。
解説・原則など
特に(2)はかなり発想寄りで、京大らしい論証問題という印象を受けます。
(1)は感覚的には当たり前に近いですが、当たり前のことほど証明しにくい。ですが、実はガウス記号$${\bm{[x]}}$$、およびその原則を用いるとかなりすっきりします。
$${\bm{x-1<[x]\leqq x}}$$ で$${\bm{x}}$$の範囲を絞る
普段は方程式や不等式のときに使う原則ですが、自分で持ち出したときもこれが使えます。これがガウス記号の定義そのものといってもいいからです。
正方形の周および内部を表す領域を$${a\leqq x\leqq a+1}$$などとすると、原則の不等式を利用することで、必ず$${\bm{[a]+1}}$$という整数がこの範囲に入ることが分かります。$${y}$$の方も同様にわかりますね。
(2)は(1)を利用するのですが、かなり発想寄りで難しいと思います。正方形が回転してもいいという点が理由でしょう。そこで、この正方形に内接する円を考えるわけです。円は回転しても全く同じだからです。
するとその円の内部に(1)のまっすぐな正方形がぴったり内接することが分かります。これにより、(2)の正方形がいかなる向きであってもOKですね。
今回はちょっと発想寄りで難しかったかもですね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
https://note.com/principle_piece/n/n676978fc0c9f
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
※ここより先には内容はございません。本記事に価値を感じていただけた方は、ポチっとしていただけると大変うれしいです。(もちろん、任意です)
ここから先は
¥ 100
この記事が気に入ったらチップで応援してみませんか？