PieceCHECK(2023-9) 2次方程式の解の存在範囲

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。

YouTube動画をUPしました。今回は昔の東京大学からです。対数を含む2次方程式からです。
思考時間は5分、解答時間はそこから7分とします。

こちらの記事では、答えを静止画像にて掲載しておきます。静止画像の方が記載内容は少し詳しめです。
よろしければ動画と両方ご覧になってみてください＾＾

解答

解説

対数を係数に含む2次方程式の解が$${\bm{0<\alpha <1<\beta }}$$の範囲にあるための条件を求めます。

東大の問題ですが、基本的な入試問題で計算もそこまで繁雑ではなく、それでいて大事な原則がキュッと詰まった良問でしたので紹介しました。

解の存在範囲の問題ですから、まずはこちらの原則に従います。

解の存在範囲　[1]Ｄ、[2]軸、[3]端点　の符号を調査

拙著シリーズ『Principle Piiece 数学Ⅰ～２次関数～』p.72

もちろん丸暗記ではなく、グラフを書いたうえで判断します。今回は端点の$${x=0,x=1}$$の符号で解決します。

係数が対数なので、条件式はすべて対数不等式になります。諸公式を用いるために、底が合っていない場合は底の統一が最優先です。

対数の式変形は底の統一が最優先

拙著シリーズ『Principle Piiece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.24

底をそろえて変形すると、対数×対数の項があります。このときは諸公式が使いにくいので、対数を置き換えて2次不等式とみなしましょう。

対数のかけ算・割り算型→対数を置き換える

拙著シリーズ『Principle Piiece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.32

$${\log}$$を除くときには、底に注意します。今回は底が文字なので、1との大小で場合分けするパターンですね。

底に文字 → 1との大小で場合分け

拙著シリーズ『Principle Piiece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.48

１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。

Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。

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