Piece CHECK(2024-85) 対称式の値の範囲

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。2024年の京都大学(理系)から、球面と平面の交点、および値の範囲に関する問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

見た目は空間ベクトルの問題ですが、式にさえできれば後は条件下での式の値の範囲の問題になります。

前半は共有点を持つことを示します。連立方程式が解を持つことが言えればいいので、具体的に解が1つでも見つかればOK。

あるいは、球面の中心と平面の距離および半径の大小比較でもいいです。こちらの方が一般的。点と平面の距離は、点と直線の距離公式の延長線上で考えれば覚えやすいでしょう。

後半は、$${xyz}$$の範囲を求めます。
球面、平面の式ともに$${x,y,z}$$についての対称式であることから、基本対称式$${x+y+z,xy+yz+zx}$$が分かります。

さらに、求めたい$${xyz}$$を$${=k}$$とでもおけば、基本対称式を用いてそのまま解と係数の関係に結びつきます。

あとは3次方程式で定数項だけに$${k}$$が入っているので、簡単に視覚化できますね。

文字定数入りの方程式は定数分離で視覚化

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.42

実数解が３つあるというのは、「重解を込めて3つ」であることに注意します。共有点が2つ(極大値、極小値)の場合も入るということです。

後半の別解は、3文字ではなくあえて2文字の対称式とみなす方法。この方法は、条件式が3文字に関して対称でなくても使えます。こちらもおススメの方法です。

条件式が「3文字の対称式2つ」の最大・最小　2文字の基本対称式を残りの文字で

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.86

動画では$${y+z}$$と$${yz}$$を$${x}$$で表しています。前半の要領で、2次方程式の解になりますので、実数解条件で$${x}$$の範囲が出ます。

また、$${xyz}$$も$${x}$$だけになるので、求めた範囲内で増減表を書けばOKです。

別解も含めて、色々学べることが多いので、動画も是非ご覧になってみて下さい！

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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