Piece CHECK(2024-100) 3曲線で囲まれた面積
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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。3曲線で囲まれた面積を求める問題です。(リンクをクリックしてください)
※今回は理系の出題範囲になります。
思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。
解説・原則など
3つの三角関数のグラフで囲まれた曲線の面積を求める問題。丁寧な誘導が付いていますが、誘導なしで出来るように原則をしっかりおさえておきたいところ。考え方の流れを追っていきましょう。
まず、面積を求めるのに必要な情報は？と考えると、
面積を求めるには「交点」と「上下関係」が必要
です。グラフの極値や正確な形は特にいらないってことです。これらを(1)(2)で求めます。
しかし、今回は交点(角度)が正確に求まらないものばかりです。そのようなときは、交点が満たす式を用意しておきます。
交点が求まらないなら文字でおき、それを満たす式を用意する
これが(1)です。今回は交点の$${x}$$座標の$${\sin }$$の値を出しておくということです。
面積を求める際に交点$${\alpha }$$などは一見必要に見えますが、実は必要なのはその三角関数$${\bm{\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha }}$$の値です。これらさえわかれば面積は求めらます。
(2)は上下関係を判定するためにグラフを書いてもらうという流れです。問題文からも、$${\alpha ,\gamma,\beta }$$の順だと予想はつきます。
準備が整ったので(3)の面積計算へ。うまく式変形すれば$${\sin }$$ばかり出てきますので、(1)の値が使えます。
$${C_3}$$の積分だけは難しめ。解答の形に合わせるために、真数をあえて2乗して係数1/2を出します。こうすれば、分子も分母も$${\sin }$$だけになりますね。
この変形が難しいだろうということで、与えてくれているのでしょう。
交点不明の面積パターンは最近では影を潜めていますが、少し前なら結構見かけましたので、ぜひ考え方の流れ(原則)をつかんでおきましょう！！
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
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解答
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