Piece CHECK(2024-97) 三角形と格子点・内心・外心

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。前回に引き続き、三角形内の格子点の数、および内心と外心の座標を求める問題です。(リンクをクリックしてください)

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約10分強です。

解説・原則など

(ａ)，（ｂ）は独立した問題です。ともに裏ワザを含めた複数の解法があります。

（ａ）の格子点の数は、今年共テ数ⅡＢＣでも出たように、シグマ計算する方法が最も思いつきやすいでしょう。

共有点の個数は1文字固定してシグマ計算

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.91参照

Ａを境目に分けますが、ここで見方を変えることがポイント。ＡＢの式は$${x=-3y+10}$$ となり、$${y}$$の方が係数が３なので、$${y}$$を固定します。

係数が1でない文字を固定する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～』p.93参照

理由は、試しに$${x}$$を固定してみると分かると思います。$${x}$$の値によって場合分けが発生するからです。出来なくはないですが、メンドウですよね。

あとは1ずれに注意して($${k=0}$$からなのか$${k=1}$$からなのかなど)シグマ計算をしましょう。

2つ目の解法はシグマを使わない方法。直線ばかりで囲まれている場合は、こちらも有効です。長方形を考えて余分なところを引きます。

直線で囲まれた領域内の格子点の個数 → 領域を含長方形を考える

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.85参照

引く際部分も、それを2倍した長方形を考えて対角線の部分を引くと、同じ形のものがで出てくることを利用すると、比較的簡単に出せます。

3つ目は裏ワザ。ピックの定理と呼ばれるものです。小学生でも超難関大を受験するなら知ってたりします(笑)

定理自体は動画をご覧ください。(18:37頃からです)

面積$${S}$$と、周の格子点の数$${T_1}$$は簡単に出せますので、これとピックの定理から$${T_2}$$を出せば、$${T_1+T_2}$$が求めるものです。

穴埋めなら最速でしょう。

（ｂ）の外心はいいでしょう。∠Aが直角であることに気づけば瞬殺ですが、気づかなくても垂直二等分線の交点として出せばOK。

内心の方は、また求め方を3通り紹介します。まずは、角の二等分線の交点として出します。∠Aの二等分線は、OBとの交点Dが$${OA:AB=OD:DB}$$として簡単に出せますので、直線の式も出せます。

他もそのようにして出してもいいです。解答では∠Oの二等分線を、こちらの原則を用いて出しました。

直線の傾きとなす角は$${\bm{\tan }}$$で結びつく

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～三角関数～』p.46参照

あとは交点を出すために連立して終わりです。

2つ目は、数ⅠAの知識を合わせて直接求める方法。まず、内接円の半径が$${y}$$座標になることに着目し、これを面積媒介で求めます。

内接円絡みの問題 → 面積を媒介にする

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～三角比～』p.51参照

$${x}$$座標は頂点Oと、OBの接点との長さです。これも原則がありました。

頂点から内接円の接点までの長さ → $${\bm{x}}$$とおいてぐるっと１周

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～図形の性質～』p.46参照

同じ頂点から２接点までの長さが等しいことを利用すると、ぐるっと${x}$$で表すことが出来ます。1周してきたら方程式が立ちますね。

最後はやはり裏ワザ。内心の位置ベクトルの準公式を覚えていれば、簡単に成分計算できます(公式は動画参照のこと)。

あてはめ間違えないようにだけ気を付けましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

(内心の位置ベクトルの公式、ちゃんと載ってます↑)

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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